Matematik
følge
Vis at følgen:
an+1 = an/2 + 1 hvor a0 = 0
er konvergent, og beregn grænseværdien.
Okay, jeg tror jeg ved, hvad jeg skal gøre noget af vejen men ikke den hele. Man kan vise, at den er konvergent ved at vise, at den er monoton + begrænset. At den er monoton ses umiddelbart, men jeg ved ikke hvordan jeg skal vise, at den er begrænset. Man kan selvfølgelig løse ligningen:
an+1 = an
Og så få idéer om mulige grænseværdier, men hvordan viser dette, at den er begrænset. Og slutteligt, hvordan findes så grænseværdien?
Svar #1
14. september 2011 af peter lind
Hvis an er positiv, vil an+1 også være det så an er nedadtil begrænset.
Svar #2
14. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
Man ser, at hvis
0 ≤ an gælder også 0 ≤ an/2 +1 = an+1 ,
og hvis an < 2 gælder an/2 < 1 og dermed an/2 + 1 = an+1 < 2
Vi har dermed 0 ≤ an < 2 ⇒ 0 ≤ an+1 < 2 , og da a0 = 0, viser dette, at talfølgen {an} er begrænset og dermed konvergent.
Man indser let, at an = 2 - 1/2n-1 .
Svar #3
14. september 2011 af arto460 (Slettet)
Men følgen skal vel være opadtil begrænset for at være konvergent? Med andro ord: Jeg ved godt, at en monoton, begrænset følge altid er konvergent, men det gælder vel kun, når mængden, som følgen udgør har et supremum?
Svar #4
14. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
#3
Ja, du har ret. Følgen er også monotont stigende, hvilket jeg ikke fik nævnt før. Der gælder, at
an+1 = an/2 + 1 , hvorfor
2(an+1 - an) = 2 - an > 0 , ifølge det, vi viste i #2.
Da følgen er monotont voksende og begrænset, er den også konvergent.
Skriv et svar til: følge
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.