Taylorpolynomie

Jeg har lavet samme opgave, så her får du den da bare :)

f(x) = x⁴ + 6x² + 1

Som vi kan se, har vi en funktion der er et polynomium af fjerde grad.

Derfor:
f(x) = x⁴ + 6x² + 1         f(1) = 1⁴ + 6*1² + 1  = 8
f'(x) = 4x³ + 12x            f'(1) = 4*1³ + 12*1    = 16
f''(x) = 12x² + 12           f''(1) = 12*1² + 12     = 24
f³(x) = 24x                   f³(1) = 24*1              = 24
f⁴(x) = 24                     f⁴     = 24                = 24


Jeg har derefter fundet taylorpolynomierne af 0 til 4. grad.

T₀f(x) = f(1) = 8
T₁f(x) = f(1) + [f'(1)/1!]*(x-1) = 16x - 8
T₂f(x) = f(1) + [f'(1)/1!]*(x-1) + [f''(1)/2!]*(x-1)² = 12x² - 8x + 4
T₃f(x) = f(1) + [f'(1)/1!]*(x-1) + [f''(1)/2!]*(x-1)² + [f³(1)/3!]*(x-1)³ = 4x³ + 4x
T₄f(x) = f(1) + [f'(1)/1!]*(x-1) + [f''(1)/2!]*(x-1)² + [f³(1)/3!]*(x-1)³ + [f⁴(1)/4!]*(x-1)⁴ = x⁴ + 6x² + 1

Ser vi på taylorpolynomiet af fjerde grad, opdager vi at det er vores oprindelige funktion f(x)!

Skriv hvis du er i tvivl om noget (eller hvis jeg har gjort noget forkert :O ?)

\Ceb

Det ville da også være mærkeligt, hvis et polynomium ikke bedst approksimeredes af sig selv.

SUPER! :) Tusind tak :)