ekstremalværdisætning

Ekstremalværdisætningen sikrer, at en funktion defineret på et lukket interval har max og min:
Lad f være en kontinuert funktion defineret på et lukket interval. Da har f både max- og minværdier.
Dette bruges så til f.eks. at vise, at et max eller min har f '(x) = 0 i intervallet.
Mit problem er bare, at funktion man oftest differentierer jo er defineret på hele R. Tag f.eks. f(x) = x^2. Vi har f'(x) = 0 i x=0, men desværre er funktionen jo bare defineret på hele R, så vi ved ikke om maximumspunktet eksisterer og kan derfor ikke bruge differentialregning til at bestemme det. Så kunne man jo godt nok kigge på et lille interval f.eks. [-1;1] og sige, at f'(x) tydeligvis har min i dette interval og at dette må være 0. Så kunne man sige, at x^2 er monoton voksende, hvorfor x=0 også må være minimum for funktionen defineret på hele R. Men igen synes jeg ikke helt den holder, for så antager vi jo et eller andet sted stadig, at der eksisterer et minimum, hvilket vi ikke ved.
Derfor spørger jeg: Findes der ikke nogle generaliseringer af denne sætning, der tager sig af problemer som dette og problemer med kontinuerte funktioner givet ved langt grummere udtryk end x^2 og defineret på hele R.