Matematik
Differentialligninger
03. juni 2005 af
stin (Slettet)
Hej alle!
Jeg skal op i mundtlig matematik og sidder derfor og pløjer mat. bogen igennem.
Har et problem med at forstå sætn. 4 i MAT 3H, som handler om at bevise den fuldstændige løsning til den logistiske ligning.
dy/dx=y(b-ay), y=(b/a)/(1+k*e^(-bx))
Der er to led i beviset: Føsrt viser man, at hvis f er løsning, så er f(x)=y, og dernæst skal man bevise at hvis y=(b/a)/(1+k*e^(-bx)), så er f en løsning.
I gennemgangen bliver også godt beskrevet første del, men i stedet for at bevise sidste del, så siger bogen bare hvordan man gør, hvilket er mit problem.
Man skal differentiere f(x)=(b/a)/(1+k*e^(-bx)), og indsætte det som y i differentialigningen.
Mit problem er hvordan f(x)=(b/a)/(1+k*e^(-bx)) differentieres, og hvordan det skal give det rigtige når det indsættes i dy/dx=y(b-ay)..
Håber at der er nogen som vil hjælpe!
På forhånd tusinde tak!!
Jeg skal op i mundtlig matematik og sidder derfor og pløjer mat. bogen igennem.
Har et problem med at forstå sætn. 4 i MAT 3H, som handler om at bevise den fuldstændige løsning til den logistiske ligning.
dy/dx=y(b-ay), y=(b/a)/(1+k*e^(-bx))
Der er to led i beviset: Føsrt viser man, at hvis f er løsning, så er f(x)=y, og dernæst skal man bevise at hvis y=(b/a)/(1+k*e^(-bx)), så er f en løsning.
I gennemgangen bliver også godt beskrevet første del, men i stedet for at bevise sidste del, så siger bogen bare hvordan man gør, hvilket er mit problem.
Man skal differentiere f(x)=(b/a)/(1+k*e^(-bx)), og indsætte det som y i differentialigningen.
Mit problem er hvordan f(x)=(b/a)/(1+k*e^(-bx)) differentieres, og hvordan det skal give det rigtige når det indsættes i dy/dx=y(b-ay)..
Håber at der er nogen som vil hjælpe!
På forhånd tusinde tak!!
Svar #1
03. juni 2005 af Brian (Slettet)
Husk, at dy/dx er det samme som f'(x).
Du skal altså "bare" vise, at
f'(x) = f(x)*( b - a*f(x) )
Jeg kan godt forstå at bogen nøjes med at sige HVORDAN man gør uden faktisk at gøre det... det bliver nemlig lidt indviklet. Men det vil være en god øvelse at gå igennem udregningerne.
Differentiere f(x): Omskriv f således:
f(x) = (b/a)(1+k*e^(-bx))^(-1).
Det kan differentieres som sammensat, ved at observere, at f(x) = (b/a)g( h(x) ), hvor
h(x) = 1+k*e^(-bx) og
g(t) = t^(-1)
Når f'(x) er fundet, skal du "bare" sætte f(x) og f'(x) ind i ligningen
f'(x) = f(x)*( b - a*f(x) )
og kontrollere, at den passer. Her vil især højre side byde på lidt tunge reduktioner. Men prøv!
Du skal altså "bare" vise, at
f'(x) = f(x)*( b - a*f(x) )
Jeg kan godt forstå at bogen nøjes med at sige HVORDAN man gør uden faktisk at gøre det... det bliver nemlig lidt indviklet. Men det vil være en god øvelse at gå igennem udregningerne.
Differentiere f(x): Omskriv f således:
f(x) = (b/a)(1+k*e^(-bx))^(-1).
Det kan differentieres som sammensat, ved at observere, at f(x) = (b/a)g( h(x) ), hvor
h(x) = 1+k*e^(-bx) og
g(t) = t^(-1)
Når f'(x) er fundet, skal du "bare" sætte f(x) og f'(x) ind i ligningen
f'(x) = f(x)*( b - a*f(x) )
og kontrollere, at den passer. Her vil især højre side byde på lidt tunge reduktioner. Men prøv!
Skriv et svar til: Differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.