Differentialligninger

Man ser, at

y'' + y' = e^x = y' + y ,

så y er en løsning til differentialligningen

y'' = y ,

der har den generelle løsning

y = a·cosh(x) + b·sinh(x) ,

hvor vi har benyttet de hyperbolske funktioner

cosh(x) = (e^x + e^-x) /2 , og

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 .

Indsætter vi denne funktionstype i den oprindelige differentialligning, får vi

y' + y = (a+b)·(cosh(x) + sinh(x)) = (a+b)·e^x = e^x ,

hvorfor

a + b = 1

Endvidere skal der gælde

y(0) = 1, dvs a·cosh(0) + b·sinh(0) = 1, dvs a = 1, hvorfor b = 0 .

Løsningen til differentialligningen med begyndelsesværdien f(0) = 1 er da

y = cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2

Alternativt kan man benytte panserformlen på differentialligningen

y' + y = e^x ,

dvs

y = e^-x · ( ∫ e^x · e^x dx + c )

   = e^-x · ( ∫ e^2x dx + c )

   = e^-x · ( (1/2)·e^2x + c)

   = (1/2)·e^x + c·e^-x

og konstanten c afpasses, så y(0) = 1 , dvs. 1 = (1/2) + c .