tricky intregral

Jo, man kan udmærket finde en stamfunktion på analytisk form.

Okay, hvordan gør man det? Har prøvet at substituere nogle ting, men synes ikke det giver noget fornuftigt.

#2

Man kan benytte, at

∫ √(1-x²) dx = (1/2)x√(1-x²) + (1/2)·sin^-1(x)

Man kan benytte substitutionen x = sin(t) , dx = cos(t) dt , hvorved

A = ∫ 2x² · √(1 - x²) dx = ∫ 2·sin²(t)·cos²(t) dt = (1/4)·∫ sin²(2t) d(2t)

Vi har, ved partiel integration, at

∫ sin²(u) du = -cos(u)·sin(u) + ∫ cos²(u) du = -cos(u)·sin(u) + ∫ (1 - sin²(u)) du

                     = -cos(u)·sin(u) + u - ∫ sin²(u) du , hvorfor

∫ sin²(u) du = u/2 - (1/2)·cos(u)·sin(u) .

Derfor får vi

A = (1/4)·t - (1/8)·cos(2t)·sin(2t) + k

   = (1/4)·sin^-1(x) -(1/8)·(cos²(t) - sin²(t))·2·sin(t)·cos(t) + k

   = (1/4)·sin^-1(x) -(1/8)·(1 - 2x²)·2x·√(1-x²) + k