Matematik
Differentialligning - hjæælp
02. september 2003 af
SP anonym (Slettet)
Opgaven lyder:
Bestem det andengradspolynomium, der er er løsning til differentialligningen:
y''-4y'+5y=5x(i anden)+7x
Jeg har forsøgt én metode, men den er enormt besværlig. Vi ved jo at:
y=ax(i anden)+bx+c
y'=2ax+b
y''=2a
Disse kan indsættes i differentialligningen og hhv. y, y' og y'' isoleres, så der fremkommer tre ligninger med tre ubekendte - herfra burde a, b og c kunne isoleres og findes.
MEN. Jeg ender med meterlange ligninger med umulige polynomiumsbrøker. Det er et helvede. Jeg bliver nødt til at lægge papiret ned på siden for blot at få plads!!
Er der en lettere måde??? Det MÅ der være. Kan heller ikke lade være med at tænke, at det vel ikke hjælper at isolere y, y' og y'' - da det jo stadig er samme ligning, blot omrokeret.
HJÆLP! Et udregningseksempel ville være dejligt!
(Det er foresten opg. 5130 i "Vejlende eksempler på eksamensopgaver i matematik, 3årigt forløb til A-niveau", i ved - den tykke, blå satan fra matematiklærerforeningen)
Bestem det andengradspolynomium, der er er løsning til differentialligningen:
y''-4y'+5y=5x(i anden)+7x
Jeg har forsøgt én metode, men den er enormt besværlig. Vi ved jo at:
y=ax(i anden)+bx+c
y'=2ax+b
y''=2a
Disse kan indsættes i differentialligningen og hhv. y, y' og y'' isoleres, så der fremkommer tre ligninger med tre ubekendte - herfra burde a, b og c kunne isoleres og findes.
MEN. Jeg ender med meterlange ligninger med umulige polynomiumsbrøker. Det er et helvede. Jeg bliver nødt til at lægge papiret ned på siden for blot at få plads!!
Er der en lettere måde??? Det MÅ der være. Kan heller ikke lade være med at tænke, at det vel ikke hjælper at isolere y, y' og y'' - da det jo stadig er samme ligning, blot omrokeret.
HJÆLP! Et udregningseksempel ville være dejligt!
(Det er foresten opg. 5130 i "Vejlende eksempler på eksamensopgaver i matematik, 3årigt forløb til A-niveau", i ved - den tykke, blå satan fra matematiklærerforeningen)
Svar #1
03. september 2003 af SP anonym (Slettet)
Som jeg læser din notation, er der tale om en inhomogen differentialligning.
Du løser først den homogene del og dernæst den inhomogene del.
Altså
d^2y/dx^2-4dy/dx+5y=0
omskriv den til karakterligningen
R^2-4*R+5=0 D=16-20=-4=(2i)^2
R=(2+i*1, 2-i*1)
Da karakterligningen har 2 imaginære rødder alfa + i*beta og alfa - i*beta, er samtlige maksimale løsninger
y=c1*e^(2x)cos(x)+c2*e^(2x)sin(x)
, x tilhørende R, c1&c2 tilhørende R.
Så er der højresiden tilbage.
y=ax^2+bx+c
dy/dx = 2ax+b
d^2y/dx^2 = 2a
Indsæt dette på venstre side:
d^2y/dx^2-4*dy/dx+5y=2a-4*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=2a-8ax-4b+5ax^2+5bx+5c
det kan skrives som
5ax^2 + (5b-8a)x + (2a-4b+5c).
Det ses heraf, at differentialligningen er tilfredsstillet for alle x tilhørende R hvis
5a=5 dvs a=1 ,
(5b-8*1)=7 dvs b=3 og
2*1-4*3+5c=0 dvs c=2
Samtlige maksimale løsninger er derfor
y=x^2+3x+2+c1*e^(2x)cos(x)+c2*e^(2x)sin(x) for x tilhørende R.
Håber du kan gennemskue princippet
Hippo hilsner
Du løser først den homogene del og dernæst den inhomogene del.
Altså
d^2y/dx^2-4dy/dx+5y=0
omskriv den til karakterligningen
R^2-4*R+5=0 D=16-20=-4=(2i)^2
R=(2+i*1, 2-i*1)
Da karakterligningen har 2 imaginære rødder alfa + i*beta og alfa - i*beta, er samtlige maksimale løsninger
y=c1*e^(2x)cos(x)+c2*e^(2x)sin(x)
, x tilhørende R, c1&c2 tilhørende R.
Så er der højresiden tilbage.
y=ax^2+bx+c
dy/dx = 2ax+b
d^2y/dx^2 = 2a
Indsæt dette på venstre side:
d^2y/dx^2-4*dy/dx+5y=2a-4*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=2a-8ax-4b+5ax^2+5bx+5c
det kan skrives som
5ax^2 + (5b-8a)x + (2a-4b+5c).
Det ses heraf, at differentialligningen er tilfredsstillet for alle x tilhørende R hvis
5a=5 dvs a=1 ,
(5b-8*1)=7 dvs b=3 og
2*1-4*3+5c=0 dvs c=2
Samtlige maksimale løsninger er derfor
y=x^2+3x+2+c1*e^(2x)cos(x)+c2*e^(2x)sin(x) for x tilhørende R.
Håber du kan gennemskue princippet
Hippo hilsner
Svar #2
03. september 2003 af 404error (Slettet)
At løse ligningen er at skyde gråspurve med kanoner, når der efterlyses blot en enkelt løsning.
Det er helt rigtigt, at du skal finde y' og y'' for
y=ax^2+bx+c,
for a,b,c reelle konstanter. Indsæt de nye udtryk for y,y' oh y'' i ligningen. Husk, ligningen skal gælde for ALLE x i R - hvis du udnytter det, er det meget nemt at aflæse de søgte værdier a,b,c direkte.
Det er helt rigtigt, at du skal finde y' og y'' for
y=ax^2+bx+c,
for a,b,c reelle konstanter. Indsæt de nye udtryk for y,y' oh y'' i ligningen. Husk, ligningen skal gælde for ALLE x i R - hvis du udnytter det, er det meget nemt at aflæse de søgte værdier a,b,c direkte.
Svar #3
04. september 2003 af SP anonym (Slettet)
til 404error
Jeg læste blot hendes tekst og så vidt jeg kunne se, var det en inhomogen diff. lign.
Jeg valgte så at løse den for samtlige løsninger. Det er der principelt ikke noget forkert i.
Jeg læste blot hendes tekst og så vidt jeg kunne se, var det en inhomogen diff. lign.
Jeg valgte så at løse den for samtlige løsninger. Det er der principelt ikke noget forkert i.
Skriv et svar til: Differentialligning - hjæælp
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.