Matematik

differentialligning...haster!!!

14. november 2011 af Lillozz (Slettet)

Vis ved at gøre prøve, at y(x)=e^(-A(x) ) ∫b(x) e^A(x) dx+ce^(-A(x) ) er en løsning til y^'+a(x)y=b(x).

Jeg har sagt:

Integralet isoleres og e^(-A) sættes uden for parentesen
y(x) = e^(-A(x) ) ∫b(x) e^A(x) dx + c•e^(-A(x) )

e^A(x) •y = ∫b(x) e^A(x) dx + c

Jeg differentier:
e^A(x) •y ' = (∫b(x) e^A(x) dx + c) '

Hvis jeg differentier det øverste, skal det give:
a(x) e^A(x) •y + e^A(x) •y ' = b(x) e^A(x)

Er ikke helt med på, hvorfor det skal give a(x) e^A(x) •y + e^A(x) •y ' = b(x) e^A(x). ER der nogen, der kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. november 2011 af Andersen11 (Slettet)

Man udnytter, at A(x) er en stamfunktion til a(x), dvs A'(x) = a(x) .

Man indsætter den forelagte løsning i differentialligningen og efterviser, at differentialligningen er opfyldt.

Med

y(x) = e^-A(x) · ∫ b(x)·e^A(x) dx + c·e^-A(x) , fås

y'(x) = e^-A(x) · (-a(x)) · ∫ b(x)·e^A(x) dx + e^-A(x) · b(x) ·e^A(x) + c·e^-A(x)· (-a(x))

= -a(x) · y(x) + b(x) ,

hvoraf man ser, at y(x) er en løsning til differentialligningen

y'(x) + a(x)·y(x) = b(x)

Svar #2
14. november 2011 af Lillozz (Slettet)

skal man ikke isolere integralet og sætte e^(-A) uden for parentesen

e^A(x) •y = ∫b(x) e^A(x) dx + c

og så differentier det?

y(x) = e^(-A(x) ) ∫b(x) e^A(x) dx + c•e^(-A(x) )
                           e^A(x) •y = ∫b(x) e^A(x) dx + c
                           e^A(x) •y ' = (∫b(x) e^A(x) dx + c) '
                           a(x) e^A(x) •y + e^A(x) •y ' = b(x) e^A(x)                  der divideres med e^A(x)
                            y ' + a(x)y = b(x)

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2011 af Andersen11 (Slettet)

Jo, den fremgangsmåde kan man da også benytte, med en parentes placeret det rigtige sted.

Svar #4
14. november 2011 af Lillozz (Slettet)

Men, hvordan får jeg a(x) e^A(x) •y + e^A(x) •y ' = b(x) e^A(x), når jeg differentier e^A(x) •y ' = (∫b(x) e^A(x) dx + c) '?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. november 2011 af Andersen11 (Slettet)

Det er nødvendigt at sætte en parentes om

(e^A(x) · y(x))'

Man benytter reglen for differentiation af et produkt og for differentiation af en sammensat funktion.

Svar #6
14. november 2011 af Lillozz (Slettet)

kan du ikke uddybe det lidt mere? Produktreglen er vel: (f(x)*g(x))'=f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)

dvs. e^-A(x)*y = e^-A(x)* y'+e^-A(x)' * y

men, det er ikke det der står

hvad er sammensat funktion her?

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. november 2011 af mathon

e^A(x) er sammensat

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. november 2011 af Andersen11 (Slettet)

Genlæs #5:

(e^A(x) · y(x))' = (e^A(x))' · y(x) + e^A(x) · y'(x)

= e^A(x) · A'(x) · y(x) + e^A(x) · y'(x)

= e^A(x) · a(x) · y(x) + e^A(x) · y'(x)

Skriv et svar til: differentialligning...haster!!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.