x^4+2x^3-11x^2-12x+36=0

Man taler kun om diskriminant i forbindelse med 2.-gradsligninger. Man løser denne slags 4.-gradsligninger ved at gætte en eller flere af rødderne og så foretage polynomiers division.

Man ser således, at x = 2 er en rod i polynomiet. Tilsvarende ses, at x = -3 er en rod i polynomiet.

Jeg er ikke helt sikker på, jeg er med på, hvordan man når frem til de rødder. Kan du forklare det på en eller anden måde?

#2

Jeg fandt de to rødder ved at gætte; men der er jo forskellige måder at gætte på. For en normeret 4.-gradsligning som denne ved man, at produktet af de 4 rødder er lig med konstantleddet, så det vides, at

r₁ · r₂ · r₃ · r₄ = 36 = 2·2·3·3

Når man som her starter med at gætte, er det derfor en fordel at starte med at gætte på simple heltallige faktorer, der går op i 36 , som for eksempel 2 eller 3, og så prøve at ændre fortegnet også. Man indsætter så ±2 og ±3 i ligningen og efterprøver, om den er opfyldt.

Man ved så, at

x⁴ +2x³ -11x² -12x +36 = (x-2)·(x+3)·(x² +px +q)

Når man har bestemt p og q, kan man så finde rødderne i det sidste 2.-gradspolynomium.

Super. Jeg forstår det første nu. Er det rigtigt forstået, at du har tallene i (x-2)*(x+3) fra rødder, som du gættede på til at starte med? Og hvad er p og q? Er det også rødderne ±2 og ±3?

#4

Ja, som jeg skrev i #1 og #3 finder man, ved lidt gætteri med indsigt, at x = 2 og x = -3 er rødder.

Man kan så udregne polynomiet

(x-2)·(x+3)·(x² +px +q) ,

og ved at sammenligne med koefficienterne i det givne polynomium

x⁴ +2x³ -11x² -12x +36

kan man aflede værdierne for p og q. Man skal ikke på forhånd regne med, at det bliver noget med 2 eller 3.

Okay jeg ser om jeg kan finde ud af det. Tak for hjælpen.

#6

Man finder her

x⁴ +2x³ -11x² -12x +36 = (x² +x -6)² = (x -2)²·(x +3)²

så i dette tilfælde er de to rødder x = 2 og x = -3 faktisk dobbeltrødder.