Regneregler for grænseværdier

Det står jo i det, du skriver: ε er et forelagt reelt tal > 0; da {y_n} er konvergent med grænseværdi y, kan man finde et N₀ , så at |y_n - y| ≤ |y|/2 for alle n ≥ N₀ . Det fremgår ikke, hvad N₁ skal bruges til.

ε er en lille størrelse som du kan vælge vilkårligt. N₀ og N₁ vælger du så ovenstående uligheder holder. N₀ og N₁ er altså afhængig af hvad ε er. Det væsentlige er at de kan findes uanset hvilken værdi ε > 0 har. Prøv at se på dine definitioner af grænseværdi.

Talfølgen a_n kaldes kovergent med grænseværdien a hvis afstanden |a_n-a| kan gøres vilkårlig lille, hvis blot nummeret n overstiger et bestemt tal.
Det er min definition..
Så N_o og N₁ er bare random tal? Hvad bruges de til? De er intet sted i beviset.

Men det står i en anden bog med et andet bevis at ε er radius, er det rigtigt?

Til de første 2 linjer. At denne numeriske værdi kan gøres vilkårlig lille udtrykkes mere præcist ved at |a_n-a|<ε, hvor så ε kan vælges vilkårlig lille. "n overstiger et bestemt tal" N og N₁ vælges så det kan bruges til at finde dette bestemte tal. Det må stå senere i beviset. Som det står i #0 er beviset ikke færdigt.

(3) er trekantsulighederne |a+b| ≤ |a|+|b| og ||a|-|b|| ≤ |a-b|

Vi lader ε > 0 være givet. Først vælger vi at N_o ≥ 1, så |b_n-b|  ≤  ½ |b| for n ≥ N_o, hvilket er muligt da b ≠ 0.
 

Af (3) får vi

1/2 |b|=|b|-1/2|b| ≤|b|-|b-_nb|≤|b_n |

Da n ≥ N_o, gælder

|(a_n / b_n) -a/b|=(|ba_n-b_na|)/(|b_n - b|) ≤ 2|b|^(-2) |ba_n-b_na| ≤ 2|b|^(-2) (|b||a_n-a|+|a||b_n-b|)

Vi vælger at N₁≥ N_o således at

|a_n-a| ≤ |b|ε/4          og         |b_n-b|≤(|b|^2 ε)/(4(1+|a|))

For n ≥ N1. Så vil

|a_n/b_n -a/b| ≤ 2|b|^(-2) ((|b|^2 ε)/4-(|b|^2 ε)/4) ≤ ε

For n ≥ N₁.
 

qed.

Jeg kan stadig ikke se hvad N_o og N₁ er.