nulrummet/kernen

Ved nulrummet/kernen for en lineær afbildning f forstås løsningerne til ligningen f(x) = 0
Og man kan bl.a. vise, at dette udgør et underrum, og det har stor betydning for videre teori for lineære afbildninger. 
Jeg har lidt svært ved at forstå, hvorfor dette vektorrum er så vigtigt - eller jeg kan godt se, hvorfor det er, men hvorfor er det dybere set, at det har så stor en betydning? Hvad udmærker det fremfor for løsningerne til ligningen f(x)=b, udover, at det udgør et underrum?
Jeg har også tit tænkt over tallet 0. Det er jo underligt, fordi det opfører sig ved multiplikation, som det gør. Og i aksiomerne for reelle tal, er eksistensen af et nulelement jo faktisk ikke krævet. Er der ikke noget gruppeteori eller andet, der tager mere fat i det her, jeg tænker over.