Taylor-Polynomie

Beregn den 1., 2., og 3. afledede af f(t) for t = -1 . Benyt, at (cosh(x))' = sinh(x) , og at (sinh(x))' = cosh(x) .

Differentier ved at benytte reglen for differentiation af en sammensat funktion.

Du skal bruge at cosh(t) = (e^t+e^-t)/2, sinh(t) = (e^t-e^-t)/2, (cosh(t))' = sinh(t). (sinh(t)' = cosh(t)

Ligheden med de trigonometriske funktioner er ikke et tilfælde.

#2 Så dvs. at når jeg skal finde f'''(t) så er det bare om at differentiere sinh(t) som giver cosh(t)=(e^t+e^-t)/2

#3

Nej, det er ikke helt så simpelt. Det er f(t), der skal differentieres 3 gange. Der bliver spyttet et polynomium ud som faktor på grund af den sammensatte funktion.

f(t) = cosh(t²+t)

f'(t) = sinh(t²+t)·(2t+1)

...

Jeg kan slet ikke se hvordan det skal håndteres.

#5

Fortsæt med at differentiere:

f''(t) = cosh(t²+t)·(2t+1)² + 2·sinh(t²+t)

f'''(t) = sinh(t²+t)·(2t+1)³ + cosh(t²+t)·2·(2t+1)·2 + 2·cosh(t²+t)·(2t+1)

Man benytter så, at for t = -1 er t² + t = 0 . Desuden er cosh(0) = 1 og sinh(0) = 0 , så vi får

f(-1) = cosh(0) = 1

f'(-1) = sinh(0)·(-2+1) = 0

f''(-1) = cosh(0)·(-2+1)² + 2·sinh(0) = 1

f'''(-1) = sinh(0)·(-1)³ + cosh(0)·4·(-1) + 2·cosh(0)·(-1) = 0 -4 -2 = -6