Polynomier af den tredjegrad.

Hvad er a, b og x ?

I 2 kan du nemt finde på eksempler. Hvorfor iøvrigt b²-3ac

#1 du har vel a, b, c og d.

Hvad er x ?

Jeg ved der er de 4 værdier, men ved ikke rigtig hvad de styrer udseendes mæssigt.

i 2. synes ikke rigtigt jeg har kunne finde nogle eksempler på det, hvor har du set nogle eksempler på disse før? hvis du har et link vil det også være dejligt.

Fordi det er det de spørger om i opgaven.

Og det skulle hedde b²-3ac ved dem alle i opgave 2.(i #0) har glemt at sætte det ved b) og c)

b² -3ac er proportional med diskriminanten for f'(x) .

Hvis f(x) = ax³ + bx² + cx + d , er f'(x) = 3ax² + 2bx + c , og ligningen f'(x) = 0 har diskriminanten

D = (2b)² - 4·3a·c = 4·(b² - 3ac)

Fortegnet for D fortæller derfor noget om antallet af lokale ekstrema for f(x) .

Fortegnet for a angiver polynomiets "opførsel" , når |x| → ∞ .

Hvis a > 0 , gælder der f(x) → -∞ for x → -∞ , og f(x) → ∞ for x → ∞ .

Hvis a < 0 , gælder der f(x) → ∞ for x → -∞ , og f(x) → -∞ for x → ∞ .

#3 + #4

Tak, men synes ikke rigtig jeg fik et svar på hvad a-værdien har af betydning for grafens udseende, dvs. den grafiske udseende.

Kunne du måske svare på det?

Det fortæller noget om hvor stejl grafen er. Jo højere numerisk værdi af a jo stejlere er grafen

#6 tak.

Har forresten også et begrundelses problem.

> Hvordan vil man kunne begrunde at et tredjegradspoly. max kan have 3 rødder?

Vil det være nok med at sige fordi den kun kan skære 3 steder på x-aksen, hvordan kan man yderligere begrunde det?

> Og hvad er en faktoropløsning?

> Har et spørgsmål som lyder: angiv factoropløsningen for et tredjegradspoly. med to rødder og factoropløsningen for et tredjegradspoly med tre rødder

#7

> Hvordan vil man kunne begrunde at et tredjegradspoly. max kan have 3 rødder?

Det følger af, at f(x) er kontinuert og af, at ligningen f'(x) = 0 har højst 2 forskellige rødder. Funktionen f(x) har derfor højst 2 forskellige lokale ekstremumspunkter, og kun hvis funktionsværdien har forskelligt fortegn i hvert af disse, kan der være tale om 3 forskellige rødder for f(x).

En faktoropløsning er en opløsning af formen

f(x) = a·(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) ,

hvor r₁, r₂, r₃ er rødder i polynomiet.

#8 tak.

Men jeg har altså et lille tvivls spørgsmål.

Spørgsmål lyder

Angiv forskrift for et tredjegradspolynomium, som opfylder
a) a > 0, b² - 3ac > 0 
b) a < 0, b² - 3ac = 0
c) a > 0, b² - 3ac < 0

Forskrift for 3.g poly : f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a)  f(x) = 1x³ + 8x² + 2x + 1 (kan den passe for ifl. kravet, får det selv til 8² - 3*1*2 > 0 (=) 16 - 6 > 0 (=) 10 > 0

b)  f(x) = -3x³ + 3x² + -1x + 1

c) f(x) = 1x³ + 2x² + 3x + 4

Jeg vil gerne høre om du kan sige om det er forkert eller korrekt lavet, hvis der er nogle fejl må du gerne fortælle mig fejlen.

Det er ok

Faktoropløsning. fremgangsmåde ?

a) Angiv faktoropløsningen for et tredjegradspolynomium med tre rødder og skitsér grafen.
b) Angiv faktoropløsningen for et tredjegradspolynomium med to rødder og skitsér grafen.
c) Angiv 2 væsens forskellige faktoropløsninger for et tredjegradspolynomium med én rod og skitsér graferne.

#11

For eksempel

a) f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

b) f(x) = (x-1)(x-2)²

c) f(x) = (x-2)³ sammenlignet med g(x) = (x-2)·(x² + 1)

Er ikke helt med, er det eksempler på facit du har givet mig ?

#13

Ja, det er svar på de tre spørgsmål a), b) og c) i #11.

Mere generelt kunne man svare

a) f(x) = a·(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) , rødder r₁ , r₂ , r₃

b) f(x) = a·(x - r₁)(x - r₂)² , rødder r₁ , r₂

c) f(x) = a·(x - r₁)³ , eller g(x) = a·(x - r₁)·p(x) , hvor p(x) er et 2.-gradspolynomium uden reelle rødder.
      Begge disse har kun den ene rod r₁ .

#14 men hvordan vil du så skitser grafen, når man jo som du også viser ingen værdier har ?

#15

Brug eksemplerne i #12.

(skitser --> skitsere)

#16 okay, men skal vi ingen a-værdi ha'?
Og i c)'ern, skal jeg så tegne både f(x) og g(x) eller kun en af dem?

#17

For simpelheds skyld er a sat til 1 , så vi har da en a-værdi.

De to eksempler i c) er to væsensforskellige polynomier, således som opgaven lægger op til det.

#18 okay tak, du lyder til at have meget styr på det med polynomier, du evt. gerne kigge på mit andet indlæg, ville være en stor hjælp, nu når jeg endelig har en som kan fortælle fra sig på en forståelig måde.