Matematik
Jacobi matrix
Hjælp.
Overvej transformationen f : R2 → R2, defineret ved
f(x,y) := (y^5,x^3).
(a) Find Jacobi matrixen for f og dens determinant.
(b) Lad D være mængden af punkter (x,y) i R^2 hvor 0≤ x ≤1 og 0 ≤ y ≤ 1. Find en funktion g : R^2 → R hvor
dobbelt Integral med græserne 0 til 1 h(x,y)dxdy = dobbelt Integral med græserne 0 til 1 h(y^5,x^3)·g(x,y)dxdy
gælder for alle funktioner h : D ! R som er integrable i D.
Tak på forhånd.
Svar #3
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Hvorfor dog ikke? Man finder de partielle afledede af hver af koordinatfunktionerne.
Svar #4
26. marts 2012 af darde-disco (Slettet)
Kan det passe at x=x(u,v) og y=(y(u,v)? undskyld men jeg er helt lost:/
Svar #5
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Hvad er u og v ?
Man har vektorfunktionen
f(x,y) = (f1(x,y) , f2(x,y)) = (y5 , x3) , hvoraf fås
∂f1/∂x = 0 , ∂f1/∂y = 5y4 , ∂f2/∂x = 3x2 , ∂f2/∂y = 0 .
Beregn nu Jacobideterminanten
det(J) = ∂f1/∂x · ∂f2/∂y - ∂f1/∂y · ∂f2/∂x
Svar #9
26. marts 2012 af darde-disco (Slettet)
Undskyld forstyrrer igen - men hvad menes der med find en funktion g?
Svar #10
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#9
Der menes, at man skal angive en funktion g(x,y) , der opfylder de angivne betingelser for alle funktioner h , som er integrable på enhedskvadratet D.
Svar #13
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#12
Spm b) har selvfølgelig noget med spm a) at gøre.
Man betragter en integrabel funktion h(x,y) på enhedskvadratet D og vil så beregne
A = ∫∫D h(x,y) dxdy .
Her skifter man variable fra (x,y) til (u,v) bestemt ved (x,y) = (v5,u3) , så
A = ∫∫D h(x,y) dxdy = ∫∫D h(v5,u3) det(J) dudv
Integrationsdomænet D er det samme, fordi de to funktioner v5 og u3 jo afbilder [0;1] på [0;1]. Nu kan man så se, hvad en mulighed for funktionen g(x,y) kan være.
Svar #14
26. marts 2012 af darde-disco (Slettet)
Så langt er jeg med at f(x,y) = g(u,v). Men er i tvivl om hvordan g præcit skal udtrykkes.
Svar #15
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#14
Hvad mener du med, at f(x,y) = g(u,v) ?
Skrevet lidt anderledes har vi fra #13
A = ∫∫D h(x,y) dxdy = ∫∫D h(f(x,y)) det(∂f/∂(x,y)) dxdy
Svar #17
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#16
Hvad er så f(x,y) her, og hvorfor beregner du det integral?
Svar #18
26. marts 2012 af TheB (Slettet)
#16
Der må menes, at f er f(x,y) := (y^5,x^3) stadig. g er så nok f med andre variable. Har jeg ret i det?
Svar #19
26. marts 2012 af darde-disco (Slettet)
#18
sådan forstår jeg det også. Og så er spørgsmålet om at finde funktionen g med andre variable, der gælder for alle h.
Svar #20
26. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#19
Men hvorfor ser du på det integral i #16. Hvis f(x,y) er vektorfunktionen f(x,y) fra #0, er dette integral på venstre side en vektor.
Det du nok tænker på, er integralet i #14, hvor man integrerer en vilkårlig integrabel funktion h(x,y), skifter variable, og så får Jacobideterminanten skubbet ud som faktor i integranden. Og ved at vælge
g(x,y) = det(∂f/∂(x,y)) = -15·x2·y4 ,
hvor f(x,y) er vektorfunktionen fra #0, har man opnået, at den søgte identitet gælder for enhver integrabel funktion h(x,y).