Matematik
Differentialligninger og partikulær løsning
HJÆLP !!!
x' = Ax + b*cos(ωt) (1)
Realdelen af eiωt = cos(ωt), så hvis z er en kompleks løsning til z' = Az+beiωt er x= Re(z) en løsning til x' = Ax + b*cos(ωt). For at finde en partikulær løsning gætter vi på en løsning z=ceiωt hvor c er en kompleks vektor.
Det har jeg gjort og er kommet frem til at c opfylder (A-iωE)c = -b
b er en vektor ( 1/1200 , 1/2400 ) E er enhedsmatricen ( ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ))
iω er en kompleks konstant, hvor ω er 2*π/86400.
A er en 2*2 matrix (( -151/180000 , 101/180000 ),( 101/360000 , -151/360000 ))
Hvad skal der gælde om A's egenværdier for at denne ligning har netop en løsning? Og er denne betingelse opfyldt for det konkrete system vi kigger på her?
Og så skal jeg benytte denne løsningsmetode til at finde en partikulær løsning til (1) med de konkrete talværdier indsat. Altså bruge (A-iωE)c = -b til at finde en kompleks vektor c som opfylder (A-iωE)c = -b
Og derefter udregne realdelen af ceiωt. Der har jeg forsøgt med det giver nogle fuldstændige uoverskuelige tal.
Hvis nogen kan hjælpe gerne mig gerne med maple.
Rigtig god påske og på forhånd tak
Svar #1
07. april 2012 af peter lind
For at der skal være en entydig løsning skal determinanten til A-iωE være forskellig fra 0. λ er en egenværdi for A netop hvis determinanten for A-λE er 0 så der er en entydig løsning hvis egenværdierne for A er forskellig fra iω.
Du skal løse et simpelt lineært system med 2 ligninger og 2 ubekendte. Det kan maple med garanti klare for dig. Jeg kender ikke selv maple så jeg kan ikke hjælpe dig med den
Svar #2
07. april 2012 af lufthansa (Slettet)
Mange tak. Det løste første halvdel af mit spørgsmål.
Er der nogen der kan hjælpe med anden del om den komplekse vektor ?
Svar #3
07. april 2012 af peter lind
hvis c = c1+ic2 er c*eiωt = (c1+ic2)(cos(ωt)+isin(ωt) = c1*cos(ωt)-c2*sin(ωt) +i(c2*cos(ωt)+c1*sin(ωt)
Svar #4
07. april 2012 af lufthansa (Slettet)
Ja den er jeg med på. Men hvordan finder jeg c? Udfra det jeg har skrevet i ovenstående tekst kan jeg ikke finde den komplekse vektor c . Jeg er helt blank !!!!!!!!!!!!
Svar #5
07. april 2012 af peter lind
Den finder du ved at løse ligningen (A-iωE)c = -b. Det er en simpel lineær ligning som nemt kan løses ved håndkraft Du kan også bruge maple til det
Skriv et svar til: Differentialligninger og partikulær løsning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.