lagrange

Det er altså ikke godt nok at du skriver nogen symboler ned uden at oplyse noget som helst om dem. Kan vi ikke få hele opgaven

Jo da.

Setup:

- 2 goder: offentligt gode (G), privat gode (c)

- 2 forbrugere (i = 1, 2) karakteriseret ved

   - Nytte: u_i = (c_i, G) = u_i(c_i, g₁+g₂)

   - Budgetramme: m_i = c_i + g_i

Man skal finde maksimum for u₁(m₁-g₁,g₁+g₂) i variablene g₁ og g₂ under bibetingelsen u₂(m₂-g₂,g₁+g₂) = u , hvor funktionerne u₁ og u₂ betragtes som funktioner af de to variable c₁ og G. Det drejer sig derfor om at finde stationære punkter for funktionen

Λ(g₁,g₂,λ) = u₁(m₁-g₁,g₁+g₂) + λ·(u₂(m₂-g₂,g₁+g₂) - u) .

Betingelserne ∂Λ/∂g₁ = 0 og ∂Λ/∂g₂ = 0 giver her

∂Λ/∂g₁ = -∂u₁/∂c₁ + ∂u₁/∂G + λ·∂u₂/∂G = 0 , og

∂Λ/∂g₂ = ∂u₁/∂G + λ·(-∂u₂/∂c₁ + ∂u₂/∂G) = 0 .

Man isolerer λ af den første ligning: λ = (∂u₁/∂c₁ - ∂u₁/∂G) / (∂u₂/∂G) og indsætter dette i den 2. betingelsesligning og får

(∂u₁/∂G)·(∂u₂/∂G) + (∂u₁/∂c₁ - ∂u₁/∂G)·(-∂u₂/∂c₁ + ∂u₂/∂G) = 0 ,

der let reduceres til

(∂u₁/∂c₁)·(∂u₂/∂G) + (∂u₁/∂G)·(∂u₂/∂c₁) = (∂u₁/∂c₁)·(∂u₂/∂c₁) , eller

(∂u₁/∂G) / (∂u₁/∂c₁) + (∂u₂/∂G) / (∂u₂/∂c₁) = 1 ,

QED.

ahh ja - 1000 tak for det grundige svar!