Matematik
Differentialligninger
Håber lidt, jeg kan få hjælp..
Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen, som funktion af tiden for forskellige udformninger af beholderen, idet h(t) skal bestemmes for mindst tre forskellige beholdere, valgt blandt følgende: Cylinderformet, kegleformet og paraboloideformet. I alle tilfældene skal volumenet af beholderne være 10 liter, og værdien af k sættes i alle de valgte tilfælde k = 8. Denne værdi forudsætter, at der som længdeenhed benyttes cm.
Opg. 1 spm. a løses i hånden.
Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj.
Jeg er i gang med cylinderen nu.
V = pi * r2 * h
10000 = pi * 102 * h <=> h = 100/pi
Jeg finder A(h)
A(h) = pi * r2 <=> A(h) = pi * 102 <=> A(h) = 100* pi
Jeg insætter i ligningen, som er opgivet i opgaven:
dh/dt = -k * √(h) / A(h)
h' = -8 * √(100/pi) / 314,16
Men jeg ved ikke, hvordan jeg skal komme videre.
Svar #2
15. maj 2012 af peter lind
Jeg tror du har misforstået opgaven. Du har ikke skrevet den fuldt ud men jeg tror at det h, der indgår i differentialligningen er højden af vandet og ikke højden af cylinderen. Du skal derfor beholde det kvrod(h). Det bliver så en differentialligning, der kan løses ved brug af separation af variable eller evt. et CAS værktøj
Svar #4
15. maj 2012 af NejTilSvampe
#3 - du skal skrive hele opgavebeskrivelsen op.
Du nævner en konstant k = 8 , hvad er det ??
Du nævner en funktion h(t) som er afhængig af tiden, men på intet andet tidspunkt giver du nogen oplysninger der handler om tid.. Du har højst sandsynligt fået noget at vide omkring hvor hurtigt vandet hældes i beholderen eller noget lignende.
Svar #6
15. maj 2012 af peter lind
Så gættede jeg rigtig. h er væskehøjden ikke højden af cylinderen. For cylinderen men ikke for de andre beholdere, er A uafhængig af h så den givne differentialligning bliver
dh/dt = -8*kvrod(h)/A hvor A er arealet af tværsnittet af cylinderen
Svar #8
15. maj 2012 af NejTilSvampe
#7 - Du skal bare separere variablerne .
Del med kvrod(h) på begge sider.
Svar #9
16. maj 2012 af elissa92
Okay, nu har jeg prøvet - er det rigtigt? :)
Svar #10
16. maj 2012 af peter lind
∫h-½dh = h-½+1/(-½+1) + konstant = 2*h½ + konstant
Du skal også finde h som funktion af tiden samt indsætte grænsebetingelsen 10l til tiden t =0
Svar #11
16. maj 2012 af elissa92
Nårh, jo.. + konstant..
Altså nu får jeg:
2h1,5 + c = -2/(25*π) * t
Men hvordan finder jeg h som funktion af tiden?
Svar #12
16. maj 2012 af peter lind
Det er ikke rigtigt Venstre sider er 2*h½ + c som angivet i #10. Det er mere praktisk at smide konstanten over på højre side så du får 2h½ = -2/(25*π) * t+c
c finder du af at for t = 0 er rumfanget 10 l.
h finder du ved at kvadrere resultatet
Svar #13
16. maj 2012 af YesMe (Slettet)
Du skal jo isolere h først .. Divider med 2 og opløft med 1/(1/2) på hver sider.
Svar #14
16. maj 2012 af elissa92
2h½ = -2/(25*π) * t+c
så gør jeg:
2h½ = -2/(25*π) * 0+c
Jeg forstod ikke helt, hvad jeg skal indsætte i h :/