Matematik
Ekstremumspunkt
Hvis jeg for en fuktion har fundet, at det har ekstremumsstedet x = 2, og at differentialkvotienten antager positive værdier før og negative efter, så må der være tale om et lokalt maksimum.
Min lærer har nogle gange benyttet følgende notation til at beskrive monotoniforholdene
f(x) er voksende i intervallet ]-∞ ; 2]
f(x) har en vandret tangent for x = 2
f(x) er aftagende i intervallet [2 ; ∞[
Jeg har set også set ham bruge følgende notation
for x < 2, er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x = 2, er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for x > 2, er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
Mit spørgsmål er nu:
Hvorfor bruger han ikke lukkede intervaller i den første beskrivelse?
x < 2 svarer vel til ]-∞ ; 2[
og
x ≤ 2 svarer til ]-∞ ; 2]
Eller er jeg galt på den?
Svar #1
30. maj 2012 af jnl123
Intervallerne er som du beskriver - men det er 2 forskellige formuleringer...
f er voksende i ]-∞; 2] ...dvs: f(2)-f(2-ε) > 0
f er aftagende i [2 ; ∞[ ...dvs: f(2)-f(2+ε) > 0
hvor f'(x0) beskriver hældningen i et bestemt punkt x0. Derfor kan man ikke bruge lukkede intervaller i den formulering.
Svar #2
30. maj 2012 af placebo321 (Slettet)
Hvis formuleringerne med intervallerne er rigtige hvorfor skriver man så ikke
for x ≤ 2, er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x = 2, er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for x ≥ 2, er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
i stedet for
for x < 2, er f'(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x = 2, er f'(x)=0, hvorfor f(x) har vandret tangent
for x > 2, er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
Jeg tænker her på større end eller lig med tegnene.
Desuden har jeg aldrig set notationen
f(2)-f(2-ε) > 0
men lad det nu ligge
Svar #3
30. maj 2012 af jnl123
fordi f'(x) ikke er positiv eller negativ i puntet x=2. f'(2) = 0 som sagt, derfor skal man bruge < og > i den formulering.
Den anden formulering siger f.eks at f(x) er voksende frem til og med f(x=2). Derfor er for ethvert ε>0:
f(2)-f(2-ε) > 0
(det betyder bare at hvis du vælger funktionsværdien af f i hvilket som helst punkt før x=2 og trækker det fra f(2) så får man et positivt tal - dvs. at f er voksende frem til og med f(x=2) )
Skriv et svar til: Ekstremumspunkt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.