Udledning af legendrepolynomierne

Det er vigtigt at angive grænserne omhyggeligt for summationstegnene.

Legendre's differentialligning er

(1-x²)y'' - 2xy' + k(k+1)y = 0

hvor jeg har brugt k i stedet for l for at lette læsningen.

Indsættes    y = ∑^∞_n=0 a_nxⁿ i differentialligningen fås

(1 -x²)·∑^∞_n=2 n·(n-1)·a_nx^n-2 -2x·∑^∞_n=1 n·a_nx^n-1 + k(k+1)·∑^∞_n=0 a_nxⁿ = 0 , eller

∑^∞_n=0 (n+1)·(n+2)·a_n+2xⁿ - ∑^∞_n=2 n·(n-1)·a_nxⁿ -2·∑^∞_n=1 n·a_nxⁿ + k(k+1)·∑^∞_n=0 a_nxⁿ = 0 ,

dvs for n ≥ 2 skal koefficienterne opfylde

(n+1)·(n+2)·a_n+2 -(n(n-1) + 2n)·a_n + k(k+1)a_n = 0 , eller

(n+1)·(n+2)·a_n+2 - (n(n+1) -k(k+1))a_n = 0

I den sidste linie med summationer skiftes der bl.a. fra at summere fra n = 2, til n = 0 ved at omdøbe n til n+2 .