faktorisering af højere polynomier

Man kan vise, at ethvert polynomium med reelle koefficienter kan faktoriseres i faktorer af formen (x - α) eller (x² + βx + γ), med reelle koefficienter; men for polynomier af grad større end 4 findes der ingen generel formel for beregningen af disse koefficienter.

Hvis man kan gætte en rod α i et forelagt polynomium, kan man foretage polynomiers division ved at dividere polynomiet med (x - α) og derved nå frem til et nyt polynomium af lavere grad end det oprindelige polynomium.

så det vil sige at hvis jeg har et 3.grads, skal det så have tre rødder for at jeg kan bruge a*(x-r1)*(x-r2)*(x-r3)   (eller er det kun for 2.grads, at jeg kan bruge den?) jeg går ud fra, at det er den du mener med (x-alfa) som jeg har lært på den anden form ? :)

kunne du evt. give et eksempel på et polynomium, hvor der divideres med (x-alfa)?

#2

Ja, det var en faktorisering af den art, jeg mente. Man skal dog være opmærksom på, at rødderne i et 3.-gradspolynomium med reelle koefficienter ikke nødvendigvis alle er reelle.

Tag for eksempel 3.-gradspolynomiet p(x) = x³ + x² + x -3 . Her ser man, at summen af alle koefficienterne er lig med 0, hvor 1 er en rod i polynomiet, dvs. vi kan skrive

p(x) = x³ + x² + x -3 = (x -1)·(x² + bx + c) , der ved udregning giver

                                   = x³ + (b-1)x² + (c-b)x -c ,

så viser, at b-1 = 1 , og -c = -3, hvorfor b = 2, c = 3, dvs

p(x) = x³ + x² + x -3 = (x -1)·(x² +2x +3) ,

men polynomiet x² +2x +3 har ingen reelle rødder, da dets diskriminant er < 0 .

Udover #1, så er der en alternativ forklaring her:

http://da.wikipedia.org/wiki/Polynomium

okay jeg kan godt se, at rodden er 1 og (x-1)    men hvorfor bruges også (x^2 + bx + c) ? er det for at skrive det om til et "mindre" polynomium?

= x3 + (b-1)x2 + (c-b)x -c  i denne omskrivning har jeg lidt svært ved at gennemskue hvorfor (b-1)  og (c-b)?

#5

Som nævnt kan man ikke altid faktorisere et polynomium med reelle koefficienter i faktorer af den lineære form (x -r_k); men man kan altid faktorisere det i en kombination af faktorer af formen (x - r_k) og (x² + bx +c) .

Når det er vist, at x = 1 er en rod i polynomiet x³ + x² + x -3 , kan dette da skrives på formen

x³ + x² + x -3 = (x -1)·(x² + bx + c) ,

og ganger man højresiden ud, får man x³ + (b-1)x² + (c-b)x -c . Ved at sammenligne med det oprindelige polynomium x³ + x² + x -3 , aflæser man så ligninger til bestemmelse af b og c.

der er stadig lidt jeg ikke lige kan se hvordan hænger sammen :-)

de x^3 kommer af de x*x^2

de (b-1)*x^2 kan jeg ikke lige se hvordan de findes frem til

samt (c-b)x- leddet

-c kommer af de -1*c

og hvordan du ser at  b-1 = 1 , og -c = -3, hvorfor b = 2, c = 3

og lige et spørgsmål til, når du så er kommet frem til p(x) = x^3 + x^2 + x -3 = (x -1)· (x^2 +2x +3) så kigger du kun på 2.grads polynomiet  x^2 + 2x + 3    bruges de (x-1) herefter til noget? altså i forhold til 3.grads. Eller sagt på en anden måde, hvad er det, jeg kan aflæse ud af (x-1) * (x^3 + 2x + 3)

Man udregner (x -1)·(x² + bx + c) ved at udnytte, hvorledes man ganger to flerleddede størrelser med hinanden: hvert led i den ene størrelse ganges med hvert led i den anden størrelse. Derfor har man

(x -1)·(x² + bx + c) = x·x² + x·bx + x·c -1·x² -1·bx -1·c

                                = x³ +bx² + cx
                                          -x²  - bx  -c

                                = x³ + (b-1)·x² + (c-b)·x -c

Når man så har etableret faktoriseringen

p(x) = x³ + x² + x -3 = (x -1)·(x² +2x +3)

kan man benytte denne til at løse ligningen p(x) = 0 , idet nulreglen da giver

p(x) = 0 ⇔ x³ + x² + x -3 = 0 ⇔ (x -1)·(x² +2x +3) = 0 ⇔ x -1 = 0 ∨ x² +2x +3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x² +2x +3 = 0

Man kan nu benytte løsningsmetoderne for 2.-gradsligninger til at indse, at ligningen x² +2x +3 = 0 ikke har nogen reelle rødder, hvorfor x = 1 er den eneste reelle rod i ligningen p(x) = 0 .

Mange tak for hjælpen :) Jeg havde lige en anden eksamen der skulle overståes inden jeg nåede at kigge på det igen, men det hele giver mere mening nu.