trig II

Der gives en retvinklet trekant ABC. Det går en diagonal linje igennem trekant ABC, der danner en trekant ABD og en trekant DBC i ABC. Jeg kan ikke overskue at beskrive det hele i detaljer, så jeg har lavet en tegning.

Vi ved (som det også fremgår af min skitse), at vinklen DBC er 30 deg, og vinkel C er 90 deg. Hypotenusen (AB, side c) på ABC er 20, mens side a (BC) er 15.

Det er min opgave at

a) bestemme længden af siden AC
b) bestemme vinklen ABD
c) bestemme arealet af trekanten ABD


a) Siden AC (b) er en del af den retvinklede trekant ABC, og derfor gælder

a^2+b^2=c^2 ...

AC = b, og c og a er kendte. Derfor gives ligningen:

20^2 = 15^2 + b^2

20^2 - 15^2 = b^2

175 = b^2 

sqrt(175) = sqrt(b^2)

13,23 = b
~~
AC = 13,23

b)  Trekanten ABC er retvinklet, og vi kender værdierne for hypotenusen og den hosliggende katete til vinkel B, og derfor kan vi fastslås vinkel b vha cos-1: 

vinkelB = cos-1(15/20) = 41,40 deg

vinkel B deles mellem vinkel DBC og ABD, og vi ved, at DBC er 30 deg, derfor

vinkel B-vinkel DBC = vinkel ABD ...

eller

41,40 deg - 30 deg = 11,4 deg

c) Trekanten ABD er ikke retvinklet, så jeg er ret sikker på, at min udregninger er ikke rigtige, men ikke desto mindre:

Vi kender hypotenusen og vinkel ABD, og derfor kan vi finde ud af længden BD vha flg ligning, 

cos(11,4) = BD/20 = 0,98 
BD = 20*0,98 = 19,6

sin(11,4) = AD/20 = 0,19
AD = 20*0,19.... = 3,9

Følgeligt (hvis trekanten nu var retvinklet), ville vi kunne få et korrekt areal vha. 1/2*3,9*19,6 = 38,75, men det er den jo ikke. Derfor har jeg et alternativt løsningsforslag

c_a) Vi har to retvinklede trekanter: ABC (areal: 1/2*13,23*15 = 99,225) samt

DBC som ligger i ABC, og hvor vi kender vinklen DBC og længden BC. Vi antager at trekant ABD, der optager den del af ABC, som DBC ikke optager, er den aritmetiske difference mellem arealerne åp trekanterne ABC og DBC.

Ud fra det kan vi beregne arealet for DBC og trække de to fra hinanden:

DC gives ved følgende ligning:
tan(30 deg) = DC/15 
DC = 15*tan(30 deg)
DC = 8,66

Arealet for DBC er derfor (1/2)*8,66*15 = 64,95 

Hvis min logik er rigtig, er arealet ABD = arealet ABC - arealet DBC 
dvs 
ABD = 99,225 - 64,95 
ABD = 34,275

.--------------

Hvad er rigtigt, hvad er forkert, og i hvilket omfang? Jeg har ikke facit til denne opgave. Er der smidigere og mere generelle måder at gøre dette på?