Massemidtpunkt

Her er spg. 

Ifølge formelsamling er 

    y = 1/m ∫_R y SdA      hvor S = densitet 

Massetætheden er jo den samme som i første del, så du får næsten samme integral

∫x(∫ydy)dx/m med samme grænser som i den førsteopgave. Det er kun integrationen med hensyn til x, der bliver lit anderledes

Hvordan bliver integrationen mht x? 

med a = -kvrod(4-x²)   b = -a får du for det inderste integral

∫-₁^aydy+∫₁^bydy = ½[y²]-₁^a + ½[y²]₁^b = a²/2 -1/2 +½b² -   ½ = (a²+b²)/2 -1 = a²-1 = 4-x²-1 = 3-x²

Kan også udregnes som ∫_a^bydy - ∫_-1¹ydy hvis du foretrækker det.

med hensyn til x får du så

∫-₂² 3x-x³dx

jeg er stadig ikke med, 

kan du hjælpe mig ved at beskrive hvad man skal gøre trin for trin for at løse opgaven? 

∫_a^bydy - ∫_-1¹ydy

jeg foretrækker ovenstående metode. 

er der andre der kan hjælpe? 

Der er en fejl i den første del i #5 idet jeg ikke får hele området med. Det korrekte er at bruge den anden formel. Det giver

∫_a^bydy - ∫-₁¹ydy = [½y²]ab - [½y²]_-1¹ = ½b²-½a² -(½-½) =0

Det kan også ses rent grafisk uden regning blot ved brug af symmetribetragtninger. Tegner de 2 halvcirkler. Tætheden kun være afhængige af x. For et givet x vil tætheden være konstant og figuren er symmetrisk omkring x aksen.så massemidtpunktet for en tynd strimmel må ligge i centeret for centeret altså på x aksen.

Har du glemt at dividere med massen for at finde massemidtpunktet? 

der er desuden noget andet som jeg er i tvivl om. 

for x>0

vi ser på en halvcirkel med radius 2, men vi skal i a) beregne massen af den område som jeg har farvet grønt (i det vedhæftede). 

det gør vi ved at trække det inderste cirkels masse fra. 

men jeg er ikke med på grænserne endnu (ellers også gør jeg mig selv forvirret?) af opgaven fremgår at y = -√(4-x²) og y = √(4-x²) for cirkel med radius 2.

og y = -√(1-x²) og y = √(1-x²) for cirkel med radius 1. 

hvorfor regner vi så med grænserne 1 og -1 når vi skal beregne massemidtpunktet? 

#8 Jeg har ikke glemt massen men ikke taget den med fordi det er beregningerne af integralet, der er problemer med.

#9 Du har ret i at mine grænser er forkerte.

Da figuren er symmetrisk omkring x-aksen og massetæthedsfunktionen også er symmetrisk omkring x-aksen, er y-koordinaten for massemidtpunktet lig med 0 .

Det er jo ikke altid, det er tilfældet som ved denne eksempel at figuren er symmetrisk omkring x-aksen. 

Kan du ved beregning vise trin for trin og komme frem til 0?  

#13

Vi finder så

y_cm = ₀∫² _-√(4-x^2)∫^{√(4-x^2)} y·x dy dx - ₀∫¹ _-√(1-x^2)∫^{√(1-x^2)} y·x dy dx

       = ₀∫² x·[y²/2]^{√(4-x^2)}_-√(4-x^2) dx - ₀∫¹ x·[y²/2]^{√(1-x^2)}_-√(1-x^2) dx

       = ₀∫² x·((4-x²)/2 -(4-x²)/2) dx - ₀∫¹ x·((1-x²)/2 - (1-x²)/2) dx

      = ₀∫² x·0 dx - ₀∫¹ x·0 dx

      = 0

Integralet af en ulige funktion over et interval, der er symmetrisk omkring 0, er altid 0.

Integralet i #14 er integralet for M·y_cm , hvor M = 14/3 er massen af hele pladen.

Mere interessant er det så at beregne x-koordinaten for massemidtpunktet

M·x_cm = ₀∫² _-√(4-x^2)∫^{√(4-x^2)} x·x dy dx - ₀∫¹ _-√(1-x^2)∫^{√(1-x^2)} x·x dy dx

           = 2·₀∫² x²·√(4-x²) dx - 2·₀∫¹ x²·√(1-x²) dx

           = 2·₀∫¹ 4t²·√(4-4t²) 2dt  - 2·₀∫¹ x²·√(1-x²) dx

           = 30·₀∫¹ x²·√(1-x²) dx

           = 30·₀∫^π/2 sin²(t)·cos²(t) dt

           = 30·₀∫^π/2 (sin²(t) - sin⁴(t)) dt

           = 30·[(1/2)t - (1/4)sin(2t) - (3/8)t + (1/4)sin(2t) - (1/32)sin(4t)]^π/2₀

           = 30·π/16

           = 15π/8 ,

hvoraf

x_cm = (15π/8)·(3/14) = 45π/112

Tusind tak for det, så er jeg endelig med.. jeg regner det selv igennem senere også for trænings skyld. 

#14 

Burde y grænsen for den mindre halvcirkel ikke være 1 og -1 istedet 0 og 1? 

Det har du misforstået. Grænserne for y er kvrod(1-x2) og kvrod(1-x²). grænserne for x er 0 og 1

#18

Ja, det har du fuldstændig ret i. Jeg forvirrede mig selv der, men så er jeg med.