MATH!

Multiplicér tæller og nævner med -1, så ser du, at

F'(x) = f(x)

Bemærk, at der intet er til hinder for at udvide definitionsområdet til ]-3;3[. Men det lader vi ligge og følger i stedet opgaveteksten.

I andet spørgsmål er du kommet alvorligt galt af sted, måske fordi du ikke læser opgaveteksten ordentligt. Man skal være _uhyre_ omhyggelig, når man bestemmer partikulære løsninger til differentialligninger. Vi har

dy/dx = g(y)*h(x), x E ]0;2[

med h(x) = 1/(9 - x^2) [bestemt ikke h(x) = -x^2 (!)] og g(y) = y. Ifølge teorien har vi

S[1/g(y)]dy = S[h(x)]dx

[integrationskonstanten c absorberes i integralet på højre side]. Eftersom x E ]0;2[, og den partikulære løsning ifølge opgaveteksten skal opfylde, at y(1) = 2, må vi have y > 0 og derfor

S[1/g(y)]dy = ln(y)

hhv.

S[h(x)]dx = 1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c (*)

Bemærk, at vi fra første spørgsmål ved, at højresiden i (*) er en stamfunktion til 1/(9-x^2)

Ergo,

ln(y) = 1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c

og herfra fortsætter du.

//Epsilon

løsning:

Ved at differentiere F(x) kan vi få f(x):

F`(x) = -1 / ((x+3)*(x-3)) <=>
F`(x) = -1 / ( x^2 - 9 ) <=>

Ved at gange med -1 for vi følgende:

F`(x) = 1 / ( -x^2 -+ 9) <=>
F`(x) = 1 / ( 9 – x^2 )

Her med er det vist at F(x) er en stamfunktion til f(x) da F'(x) = f(x)
-*-*- (Jeg var bare usikker på om man måtte gange med -1 for at komme frem til den rigtige løsning, men kunne man ikke også finde stamfunktionen til f(x) og vise det på den måde?)-*-*-


Vi har

dy/dx = g(y)*h(x), x E ]0;2[

Hvor h(x) = 1/(9 - x^2) og g(y) = y.

Ifølge teorien har vi så

S[1/g(y)]dy = S[h(x)]dx + c

Eftersom x E ]0;2[, og den partikulære løsning ifølge opgaveteksten skal opfylde, at y(1) = 2, må vi have y > 0 og derfor

S[1/g(y)]dy = ln(y)

Og

S[h(x)]dx = 1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c

Ved hjælp af teorien kan vi så opskrive følgende:

ln(y) = 1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c <=>

y = e ^ (1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c) <=>

y = ( -(3+x) / (-3+x) ) ^(1/6) * e^c <=>

y = ( (-3-x) / (x-3)) ^(1/6) * e^(c)


ved at indsætte punktet P i udtrykket for y kan vi finde c på følgende måde:
2 = ( (-3-1) / (1-3)) ^(1/6) * e^(c) <=>
2 = (-4 / -2)^(1/6) * e^(c) <=>
2 / (2)^(1/6) = e^(c) <=>
1.7818 = e^(c) <=>
ln(1.7818) = c

ved at indsætte c ind i udtrykke for y fås følgende:

y = ( (-3-x) / (x-3)) ^(1/6) * e^(ln(1,7818)) <=>
y = ( (-3-x) / (x-3)) ^(1/6) * 1,7818 , xE ] 0 ; 2 [

bestemmelse af tangenten:
a = y / (9-x^2) = 2 / (9 – 1^2 ) = ¼

bestemmelse af b:
y = a*x + b
2 = 1/4 * 1 + b
2 = 1/4 +b
2 -(1/4) = b
7/4 = b

dvs at tangentens ligning er:

y = (1/4)*x + (7/4)

---------------------------------------

lige et par spørgsmål til opgaven:

1)
Hvordan kan man vide at man skal bestemme den partikulære løsning til differentialligninger.

2)
hvordan kan man se at man skal bruge h(x) = 1/(9 - x^2) og ikke h(x) = -x^2

her forleden lavede vi en opgave der lyder sådan:
dy/dx = 4x^3 / y
S[1/y]*dy = S[4x^3] *dx +c
1/2 *y^2 = x^4 +k
og der brugte vi kun det som stod under dy/dx

3)
Nogle fra min klasse fik y til at være:
y = 1,7818 * ( (3+x) / (3-x))^(1/6) mens jeg fik
y = ( (-3-x) / (x-3)) ^(1/6) * 1,7818

Så jeg vil lige spørge om du ved hvordan det som står i parentesen ikke er det samme i begge løsninger. Når jeg tegner graferne så er de to ens grafer som går oven i hinanden så det er lidt mystisk jeg kan nemlig ikke se hvad de har gjort.

#2:
Ved første øjekast virker følgende kommentar noget lang; læs den grundigt og spørg igen, hvis du er i tvivl.

" (...) men kunne man ikke også finde stamfunktionen til f(x) og vise det på den måde? "

Jo, man kunne integrere f; men du vil hurtigt opdage, at det er betydeligt lettere at differentiere F. Når der som her ikke kræves benyttet en bestemt metode, så vælg den smarteste.

Jeg forstår ikke, hvorfor du midt i regnerierne pludselig skifter fortegn på tæller og nævnerudtrykkene;

y = e ^ (1/6*ln[(3+x)/(3-x)] + c) <=>

y = ( -(3+x) / (-3+x) ) ^(1/6) * e^c

Det er korrekt, men helt unødvendigt. Hvis du undlod fortegnsskift og i stedet skrev

y = k*[(3+x)/(3-x)]^(1/6) (1)

(hvor k = e^c er en konstant), ville du ikke være i tvivl om, at din løsning stemmer overens med, hvad de andre fra din klasse har fået.

Ydermere har (1) den fordel, at k kan evalueres lynhurtigt:

k =
y(1)/[(3+1)/(3-1)]^(1/6) =
2/2^(1/6) =
2^(5/6)

eksakt (approksimativt 1,7818; men brug den eksakte løsning; det er ren matematik, og der er ikke tale om en model). Den omspurgte partikulære løsning er således

y(x) = 2^(5/6)*[(3+x)/(3-x)]^(1/6)

for x E ]0;2[.

Bestemmelse af tangentligningen går fint.

ad 1)
At bestemme en partikulær løsning er præcis det samme som at løse et begyndelsesværdiproblem. I dette tilfælde er begyndelsesværdiproblemet

dy/dx = y/(9 - x^2), x E ]0;2[, y(1) = 2

ad 2)
Det er soleklart ud fra differentialligningen, når den er skrevet på separabel form (som et produkt af to funktioner, som hver især kun afhænger af én variabel, x hhv. y). I dette tilfælde haves

dy/dx = g(y)*h(x)

og sammenholdes dette med

dy/dx = y/(9 - x^2)

da er g(y) = y og h(x) = 1/(9 - x^2).

Angående den anden differentialligning, som du nævner; det skal retteligt være

S[y]dy = S[4x^3]dx

ad 3)
Det har jeg kommenteret længere oppe [vedrørende fortegnsskift i tæller og nævner af brøken (3+x)/(3-x)]. Løsningerne _er_ identiske.

//Epsilon