Matematik

Differentialkvotient

10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Kunne virkelig bruge noget hjælp til denne opgave. Vi har løst en masse der minder om den, men ved de andre har vi kendt hældningskoefficienten -det gør vi ikke her!

"Funktionen f er givet ved: f(x) = kvadratrod(x). Bestem ligningen for tangenten til grafen f i punktet (4,f(4)).
En anden tangent er parallel med linjen med ligningen y = 0,5x + 5. Bestem ligningen for denne tangent."

HJÆLP

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

Kender du det approkksimeret førstegradspolynium?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

F(x)=f´(x0)(x-x0)+f(x0)

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. september 2005 af Einstein_15 (Slettet)

brug den

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Funktionen x |-> x^(1/2) er veldefineret for ethvert ikke-negativt, reelt x. Dette betyder, at

f(4) = 4^(1/2) = 2

er veldefineret. Altså skal du finde tangenten i punktet (4,2). For at gøre dette, skal du have differentieret f, og derefter evaluere f' i x = 4. Nu bruger de så Taylorpolynomiet af 2. grad i x = 4 (jf. #1).

I den anden del af opgaven, kender du tangenthældningen, eftersom den skal være parallel med en linje, hvis ligning er kender. Prøv nu at se om dette ikke kan hjælpe dig til at komme videre.

Svar #5
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Jeg forstår ikke hvorfor du opløfter 4 i ½ -hvor kommer de fra?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: x^(1/2) = sqrt(x)

Det er typisk et spørgsmål om bekvemmelighed, hvilken af formerne man foretrækker i en given situation.

Prøv nu at udnytte de vink, som er dig givet i indlæg #4.

//Epsilon

Svar #7
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Indtil videre er jeg med så langt:

f(x) = kvadratrod(x)

f(4) = 4^½ = 2

Tangentens røringspunkt er altså i (4,2)

Hvad så her?

Skal jeg bruge tretrinsreglen for at finde f mærke?
Og hvis ja, hvordan det?? Men hvilken ligning?

Svar #8
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Jeg er godt klar over at jeg skal finde f mærke, hældningskoefficienten, finder jeg den kan jeg sagtens resten.

men aner virkelig ikke hvordan jeg skal finde den?

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Du bør altså være i stand til at kunne bestemme differentialkvotienten af en funktion af typen f(x)=x^k, hvor k er et reelt tal. Prøv eventuelt at kig i din matematikbog eller formelsamling.

Svar #10
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Dvs. jeg bruger tretrinsreglen på f(x) = x^½

Dvs. (x+deltaX)^½ - x^½ / deltaX

?

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#10: Nej, du skal såmænd bare bruge, at for f(x) = x^k, er

f'(x) = k*x^(k-1),

og så sætte k = 1/2 i det konkrete tilfælde.

Svar #12
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Men hvad er det for en formel?
- en vi burde have lært?

Men hvis jeg gør dette, så får jeg f mærke (dermed også a) til 1/4

Sætter jeg dette ind, får jeg:

y = ax + b
2 = 0,25*4+b <=> b = 1

Altså er tangentens hældning
y = 0,25x+1

Hvorfor har jeg så fået opgivet en anden tangents ligning??

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Det er rigtigt, at ligningen for tangenten i første del af opgaven er 1/4*x+1.

Den oplyste tangentligning hører til anden del af opgaven: Du skriver jo selv "en anden tangent".

Svar #14
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Ja okay.. så det er to forskellige opgaver. Det er bare skrevet op lidt forvirrende på mit papir :/

Men hvilken formel var det du brugte? Den med k?

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Hvilken formel jeg bruger -- du forvirrer mig? Jeg har jo lige skrevet, at jeg bruger, at differentialkvotienten af x^k er k*x^(k-1).

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

? --> !

Svar #17
10. september 2005 af Hilano (Slettet)

Jamen hvordan ved du at den er det?

Burde man bare vide det eller..?

Brugbart svar (0)

Svar #18
10. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Ja, det er en af de allerførste regneregler for differentialkvotienter, som man bliver præsenteret for i gymnasiet.

Brugbart svar (0)

Svar #19
11. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: I må på et eller andet tidspunkt i behandlingen af differentialregning have set, at differentialkvotienten af kvadratrodsfunktionen sqrt(x) er

1/(2*sqrt(x))

[svarende til 1/2*x^(-1/2)]. Hvis du vitterligt vil have et argument, så lad os skrive

f(x) = sqrt(x), x >= 0

Vi opskriver differenskvotienten

[f(x+h) - f(x)]/h =
[sqrt(x+h) - sqrt(x)]/h

for et vilkårligt h > 0. Ideen er nu at forlænge med

sqrt(x+h) + sqrt(x)

og udnytte regnereglen om "to tals sum gange de samme tals differens". Således haves

[f(x+h) - f(x)]/h =
[(x+h) - x]/[(sqrt(x+h) + sqrt(x))*h) =
h/[(sqrt(x+h) + sqrt(x))*h) =

1/[sqrt(x+h) + sqrt(x)]

for ethvert h > 0. Eftersom sqrt(x+h) er kontinuert i h, ser vi, at grænseværdien

lim[[f(x+h)-f(x)]/h]
h -> 0

eksisterer og er

lim[1/[sqrt(x+h) + sqrt(x)]] =
h -> 0

1/[sqrt(x) + sqrt(x)] =

1/[2*sqrt(x)]

Konklusion: f er differentiabel i ethvert x > 0 med afledet

f'(x) = 1/[2*sqrt(x)]

//Epsilon

Skriv et svar til: Differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.