konvergens

Taylors grænseformel ...

Eller...

hvis n går mod ∞, så går r/n mod 0 og dermed x mod 0.

Hvis ln(1+X)≤x  ,  og x går mod 0, må ln(1+x)  gå mod 0, eller i det mindste mindre end 1.

Et tal opløftet i ∞ går mod nul, hvis tallet er mindre end 1 samt ≥ 0.

Taylors formel må heller ikke bruges.

Maple kan undersøge grænseværdien og den er e^r men hvis du beregner denne i hånden får du nærmere at grænseværdien er som du skriver 0.

Men opgaven går ud på at argumentere for at f(x) enten divergerer mod uendeligt eller konvergerer når n→∞,med den bemærkning at divergens mod uendeligt selvfølgelig ikke forekommer men det skal der ikke argumenteres for.

Jeg kender formlen for hvad som gælder når en følge konvergerer.

Jamen så brug bare beviset i svar #2.

Antag, at r ≠ 0 , og at n er et helt positivt tal med n > -r . Derved er n+r > 0 , og dermed 1 +(r/n) > 0 , og vi har nu, at også

[ 1 + (r/n)]ⁿ > 0 .

Vi har så, at

y_n = ln( [1 + (r/n)]ⁿ ) = n·ln(1 + (r/n)) = nr·ln(1 + (r/n)) / r = r·ln(1 + (r/n)) / (r/n)

                                   = r·[ ln(1 + (r/n)) - ln(1) ] / (r/n)

Vi ser, at [ ln(1 + (r/n)) - ln(1) ] / (r/n) er en differenskvotient for funktionen ln(x) i 1 , hvorfor

[ ln(1 + (r/n)) - ln(1) ] / (r/n) → ln'(1) = 1 for (r/n) → 0 , dvs

y_n =  ln( [1 + (r/n)]ⁿ ) → r for n → ∞ .

Da e^x er kontinuert, fås så

(1 + (r/n))ⁿ = e^y_n → e^r for n → ∞

# 0  :

Hedder funktionen:

a)  (Ln(1+(r/n)))^n     eller                             (benyt svar #2)

b)   Ln((1+(r/n))^n)     eller                            (benyt svar #5 og tag Ln til e^r)

c)   (1+(r/n))^n                                               (benyt svar #5)