Matematik
differentialligning
lad os sige vi har:
dy1/dx = a - y1
dy2/dx = 2a -y2
med y1(0)=y2(0)=0
Så har man:
y1 = a(1-exp(x))
y2 = 2a(1-exp(x))
Så der gælder hele tiden:
y2 = 2y1
det sad jeg og tænkte over til time i dag. Jeg synes ikke det er åbenlyst, at ligningen ovenfor må gælde. Der gælder jo hver for dy1/dx eller dy2/dx at de er proportionale med a. I dette tilfælde ville det være klart at y2 hele tiden var dobbelt så stor som y1.
Så jeg spørger jer matematikguruer. Synes i det er åbenlyst, at det bliver nødt til at være sådan at y2 = 2y1. Matematikken siger det selvfølgelig, men jeg ville ønske jeg kunne argumentere for at det er åbenlyst.
Svar #1
14. september 2012 af jnl123
Det er jo kun fordi begyndelsesbetingelserne er ens for de to differentialligninger, at den ene løsning er dobbelt den anden. Derfor er den 'første ændring' væk fra x=0 dobbelt så stor i den ene løsning. Er det i øvrigt ikke exp(-x)?
Svar #3
15. september 2012 af arto460 (Slettet)
jamen jeg synes bare ikke det er intuitivt at y2=2y1. Grundene har jeg skitseret ovenfor.
Svar #4
15. september 2012 af Singlefyren (Slettet)
Det er ikke åbenlyst. Det er tilfældigt, ud fra hvad der opfylder matematikken. Proportionaliteten hidrører jo fra løsningen y2= c*e-x + 2a, ud fra forudsætningen y(0) = 0. (tilfældig). Konstanten c findes tilfældigt til -2a, og funktionens afledede bliver -(-2a)*e-x, som er -funktionen+2a, som krævet i dif.ligningen. Havde forudsætning y(0)=0 været anderledes, ville c blive en anden og funktionerne ikke være proportionale.
Differentialligninger ændrer sig ofte drastisk bare man ændrer en mikroskopisk del af ligningen. De er ikke åbenlyst lineære. Du skal se løsningen som et tilfældigt resultat og ikke som en magisk naturlov. Ellers kunne man gå og anskue alle resultater i verden som enestående naturlove.
Skriv et svar til: differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.