Matematik
HJÆLP
(komplekse tal)
Opskriv det tredjegradspolynomium p(z)= az3 + bz2 + cz + d, der har rødderne 2+i, 2-i og 4 og som opfylder at p(0)=1
nogle som kan vise vejen frem til svaret TAK :)
Svar #1
30. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
Benyt faktoriseringen
p(z) = a · (z - r1) · (z - r2) · (z - r3) ,
hvor r1, r2, r3 er de tre rødder. Bestem så a ud fra betingelsen p(0) = 1.
Svar #2
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
tak men hvordan skal ( i ) så være med ?
altså
p(z) = a · (2 - 2) · (2 -(-2) · (4 - 4) , altså hvor skal i erne være tak :)
Svar #3
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
ups har skrevet en fortegns fegl i r2
(2-2) skal der stå
Svar #4
30. september 2012 af dikkelmikkel (Slettet)
i'erne er jo en del af rødderne
p(z) = a(z-2-i)*...
Svar #5
30. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Nej, man indsætter rødderne i stedet for r1, r2, r3, ikke i stedet for z:
p(z) = a · (z - (2+i)) · (z - (2-i)) · (z - 4) = a · (z-2 -i) · (z-2 +i) · (z -4)
Svar #7
30. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#6
Nej, a er ikke lig med 0 (så ville polynomiet jo være lig med nulpolynomiet). Man bestemmer a ud fra betingelsen p(0) = 1 .
Eftersom p(0) = d, følger det jo, at d = 1 .
Man har så
p(z) = a · ((z-2)2 + 1) · (z - 4) ,
og specielt, at
p(0) = a · ((-2)2 + 1) · (-4) = 1
Svar #8
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
ja ok men hva er a,b,c så kan slet ikk forstå det???
Svar #9
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
jeg prøvede at skrive p(z) = a · (z - (2+i)) · (z - (2-i)) · (z - 4) = a · (z-2 -i) · (z-2 +i) · (z -4
og solve a derfor fik jeg 0 men kan ikk se hvordan faktoriseringen gør at jeg kan skrive polynomiet op
for hva er a b og c
Svar #10
30. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#8
Når a er bestemt, kan man jo gange hele polynomiet ud og så aflæse værdierne af b, c og d .
Svar #12
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
og hvordan kommer du frem til det her p(z) = a · ((z-2)2 + 1) · (z - 4) ,
og specielt, at
p(z) = a · ((-2)2 + 1) · (-4) = 1
??
Svar #13
30. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#12
Man benytter en kendt kvadratsætning til at indse, at
((z-2) -i) · ((z-2) +i) = (z-2)2 - i2 = (z-2)2 +1
Derfor er
p(z) = a · ((z-2)2 +1) · (z - 4) ,
og indsætter man z = 0 , får man så
p(0) = a · ((-2)2 +1) · (-4) = -20a = 1 ,
hvoraf man så beregner a .
Dernæst kan man så udregne polynomiet
p(z) = a · ((z-2)2 +1) · (z - 4)
Svar #14
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
ok mange tak, men når nu a er -1/20, hvordan kan jeg bruge det til at finde b og c
Svar #16
30. september 2012 af CuoOOoooO (Slettet)
Generelt
....Hvis en polynomie har rødderne r1, r2, r3...rn, så kan polynomiets forskrift skrives på måden:
...p(x) = a • (x - r1) • (x - r2) • (x - r3) •...• (x - rn)
Partikulært (3.gradspolynomie)
... Her er der tre rødder r1,r2 og r3
...p(x) = a • (x - r1) • (x - r2) • (x - r3)
Svar #17
30. september 2012 af CuoOOoooO (Slettet)
#14 du behøver ikke at finde b og c, da et 3.gradspolynomie kan skrives som i #16
Svar #18
30. september 2012 af student1905 (Slettet)
tak forstår godt metoden nu.. men forstod stadig ikk det med at man ikk behøver at finde b og c, er det fordi at b og c er en del af formlen ? og vil det så sige at svaret er:
p(z)= -1/20 * (Z-(2+i)* (Z-(2-i)* (Z-4)
??