Matematik
Planintegral
Til det, hvor man udregner ved brug af kartesiske koordinater fik jeg det til π/8. Nu skal jeg så udregne ved brug af polære koordinater. Jeg er lidt usikker på, om jeg gøre det rigtigt, når jeg antager, at f(x,y) = x2
så omskriver jeg det til de polære koordinater, at x2 = r2cos(θ)2, derfor må den nye funktion være
g(r,θ) = r2cos(θ)2
Jeg vil også omskrive D, at
D = {(r,θ) | -1 ≤ rcos(θ) ≤ 0, -√(1-(rcos(θ))2) ≤ rsin(θ) ≤√(1-(rcos(θ))2) }
= {(r,θ) | -1/cos(θ) ≤ r ≤ 0, ?? ≤ θ ≤ ??}
Jeg skriver spørgsmåltegn her, fordi jeg ikke ved hvad der skal stå. Kan I også forklare mig, hvordan man svarer på det spørgsmål?
Svar #1
07. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man benytter polære koordinater
x = r·cos(θ) , y = r·sin(θ) ,
og mængden D (halvcirklen i 2. og 3. kvadrant) er da
D = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ 1 ∧ π/2 ≤ θ ≤ 3π/2}
hvorfor
∫D x2 dA = 0∫1 π/2∫3π/2 r2·cos2(θ) · r dθ dr
= 0∫1 r3 dr · π/2∫3π/2 cos2(θ) dθ
= (1/4) · [θ/2 + sin(θ)·cos(θ)/2]3π/2π/2
= (1/4)·π/2
= π/8
Svar #2
07. november 2012 af DelFerro (Slettet)
Hej Torben
Hvorfor har du valgt at definere en anderledes mængde D på den måde? Er det noget, man selv skal finde ud af fra forestillingen, hvor de placeres i koordinatsystemet? Eller kan du prøve vise mig, hvorfor
-1 ≤ x ≤ 0 bliver til 0 ≤ r ≤ 1 , men ikke -1/cos(θ) ≤ r ≤ 0?
Svar #3
07. november 2012 af peter lind
Prøv at tegn en enhedscirkel op og angiv mængden på denne. Du vil se at det er den venstre del af den del som cirklen omslutter. Dette svarer helt til beskrivelen i opgaven og den i #1
Svar #4
07. november 2012 af DelFerro (Slettet)
#3
Ja, det kan jeg godt se. Jeg troede, at det var muligt at omskrive det uden at lave en skitse på koordinatsystemet. Tak for hjælpen.
Skriv et svar til: Planintegral
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.