Matematik

Integralregning (3.003 1A)

22. september 2005 af celgrun (Slettet)

Hej

Jeg har lidt problemer med finde ud af hvordan jeg skal gribe nedenstående opgaver an. Håber nogen vil give mig et skub i den rigtige retning

En funktion f er givet ved
f(x)= 9/(3-4x) , x
Betsem til f den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet O(0,0)

Fra eksamen august 98 nr 2
1)Bestem samtlige løsninger til differentialligningen y''=6x-12
2)Betse den løsning, hvis graf går gennem
A(1,3) og B(2,-5)

Håber nogen vil hjælpe. Det er især den første opgave, som jeg er mest i tvivl om og det er derofr den der har førsteprioritet.

På forhånd tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2005 af sontas (Slettet)

1) anvend integration ved substition og sæt t = 3-4x derved findes stamfunktionen, herefter kan du sætte punktet (0,0) ind i denne stamfunktion.

Svar #2
22. september 2005 af celgrun (Slettet)

Det kan jeg godt forstå, men punktet (0,0)=(x,y) og jeg skal jo bruge to x'er ik et y og et x..?
Det kan godt være jeg er lidt forvirret, men hvor er det sidste x..?

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. september 2005 af sontas (Slettet)

hmm jeg bliver nødt til at lave eksempel så. Punktet (0,2) ligger på
G(X) = 3x+4 +k
G(X) = 2 = 3*0+4+k <=> 2= 4+k <=>
k = -2

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. september 2005 af sontas (Slettet)

Der skal egentlig stå G(0) der nederst.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september 2005 af fixer (Slettet)

Stamfunktionen F(x) er en funktion hvis graf er fuldstændigt fastlagt som punktmægden M

M = {(x,y) E R^2 | y = F(X) }

Altså med andre ord mængden af de punkter P(x,y) hvor y-koordinaten er lig med funktionsværdien af x-koordinaten.

Det betyder, at den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet O(0,0), må opfylde

F(0) = 0

Dette vil give en ligning til bestemmelse af integrationskonstanten. Der vil være netop een løsning og dermed netop een stamfunktion, hvis graf indeholder O.

Svar #6
22. september 2005 af celgrun (Slettet)

Vil det så sige den går fra b=3 og a=0

Men det funker bare ik... får noget negativt i ln og kan ik få noget resultat. Hmm, misforstår nok et eller andet. Kan jeg evt. få lidt mere hjælp?

Svar #7
22. september 2005 af celgrun (Slettet)

Hvad med nr 2 opg. Har vidst løst første del af den. Der har jeg fået y=x^3-6x^2+kx+k, men forstår ik helt den anden del.
Men har som sagt heller ik rigtig fået styr på 1. opgave trods hjælp... Er lidt fat-svag i dag..;-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. september 2005 af fixer (Slettet)

#6 Jeg forstår ikke hvad du mener. Men en stamfunktion til

f(x) = 9/(3-4x) , x
er det første der skal findes. Altså

S[f(x)]dx =

S[9/(3-4x)]dx = ?

Prøv nu med substitutionen

t = 3-4x => dt = -4dx

om du kan finde samtlige stamfunktioner. Bemærk at jeg siger samtlige stamfunktioner; det er et ubestemt integral. Det er et kraftigt vink om at der ved integrationen dukker en reel konstant op. Denne konstant vil fastlægges af det oplyste krav om at der søges netop den specifikke stamfunktion, hvis graf indeholder punktet O.

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. september 2005 af fixer (Slettet)

#7 Din løsning er aldeles korrekt, dog skal du huske, at der er tale om 2 forskellige konstanter, ikke et og samme k. Det ser vi jo af regningerne:

y'' = 6x-12 <=>

S[y'']dy = S[6x-12]dx <=>

S[(y')']dy = S[6x-12]dx <=>

y' = 3x^2-12x+k, k reel

Helt analogt fås videre

S[y']dy = S[3x^2-12x+k]dx <=>

y = x^3-6x^2+kx+c, c reel

som dermed er samtlige løsninger.

Du er utvivlsomt blevet forvirret af at få oplyst to punkter, A og B, men kun have een konstant til rådighed :-)

Men der er altså præcis den information der kræves for at fastlægge de to konstanter, k og c, således at løsningens graf indeholder A og B.

Dette krav giver jo netop anledning til følgende ligninger

y(1)=3 /\\ y(2)=-5

Du vil få et system af to ligninger med to ubekendte, nemlig k og c.

Svar #10
22. september 2005 af celgrun (Slettet)

Nu har jeg fået styr på den første opgave... og halvdelen af den anden...
Men forstår ik helt precis hvad det er jeg skal finde... kan godt se at y(1)=3 og y(2)=-5.... men forstår det altså stadig ikke helt.
Vil nogen er jer måske skrive det lidt mere ned... forstår det oftes meget bedre når jeg ser det direkte... Vil meget gerne forstå det!! Men ellers mange tak for hjælpen til de andre opgaver!!

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. august 2006 af Atky (Slettet)

fatter ikke helt det her nogen der kan vise mig de regler i har brugt i 3.003 er ikke helt med. mit ti siger at f`s stamfunktion er (9ln(3-4x))/4) men øhh hvordan man lige kommer frem til det er mig en gåde

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. august 2006 af Waterhouse (Slettet)

Vi vil gerne finde

S(9/(3-4x))dx

Vi sætter t=3-4x og får dt=-4dx.

Nu benytter vi tricket med at indsætte et tal samt dets reciprokke, og flytte den reciprokke uden for integraltegnet. I dette tilfælde kunne vi godt tænke os, at der i brøkens nævner stod -4, og ikke 9. Vi ved, at 9 * -4/9 = -4, så vi gør følgende:

S(9/(3-4x))dx =
S(-4/9)*(-9/4)*(9/(3-4x))dx =
-9/4*S([-4/9*9]/[3-4x])dx =
-9/4*S(-4/[3-4x])dx =
-9/4*S(1/t)dt =
-9/4*ln(t)+k =
[-9*ln(|3-4x|)]/9 + k

Skriv et svar til: Integralregning (3.003 1A)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.