Lineær algebra

Leddet ∑ⁿ_i=1 (2q) betyder jo (2q) + (2q) + ... + (2q) (n addender), dvs 2nq .

Man har så ligningssystemet

∑ 2t_i(pt_i + q - y_i) = 0 og

2nq + ∑ (2pt_i - 2y_i) = 0

Divider hver ligning med 2 og flyt y-leddene over på højre side.

#1 

OK. 

i) ∑ t_i(pt_i + q - y_i) = 0 ⇔ ∑ t_i(pt_i + q) = ∑ t_iy_i

ii) nq + ∑ (pt_i - y_i) = 0 ⇔ nq + ∑ pt_i = ∑y_i

OK. Har lige sammenlignet det med opgavesættet. Troede det skulle gøres på en svære måde.

I 2.1(c)

M = (∂²Q/∂p²)(∂²Q/∂q²) - (∂2Q/∂q∂p)² = (∑2t_i²)(2n) - (∑2t_i)²

    = (2a)c - (2b)² = 2(ac - 2b²) ... hvad så?

I 2.1(c) skal man opstille matricen M, som er matricen for ligningssystemet:

             ∑ t_i²           ∑ t_i
M   =    
             ∑ t_i              n

og            d = ∑ t_iy_i      og     e = ∑ y_i

I 2.1(d) benytter man så

∂²Q/∂p² = 2·∑ t_i² ,  ∂²Q/∂q² = 2n , ∂²Q/∂q∂p = 2·∑ t_i

og beregner

det(M) = (1/4) · (n·∑ t_i² - (∑ t_i)²) ≥ 0

#3

Altså, er det bare en matrixform, man skulle definere? Hvad med (p,q) der står ved siden af M? Skal man også skrive hvad (p,q) er, når det er lig med M^-1(d,e)?

#3 & #4

OK. Er det ikke det samme som mit svar i #2? Lokalt minimum gælder jo, at det(M) > 0 og ∂²Q/∂p² > 0. Så, hvorfor skrev du "≥" ?

#5

(p,q) er de to koefficienter, der søges bestemt.

#6

Man skal lige vise, at det(M) ≥ 0 .

#7

Så vidt jeg husker, at jeg læste i en bog; hvis determinanten er lig med 0, giver testen ingen konklusion. Men jeg kan se, at du foretrækker begge dele, altså både lig med og større end 0. (Hvorfor?)

Hvad/Hvordan kan man så konkludere, at lokal minimum eksisterer, når t_i ikke kendes?

#8

Man betragter 2.-gradspolynomiet

p(x) = ∑ⁿ_i=1 (x + t_i)² = ∑ⁿ_i=1 (x² + 2xt_i + t_i²)

Da det er ikke-negativt, har det højst 1 reel rod, så derfor er dets diskriminant d ≤ 0 . Derfor gælder der, at

d = b² - 4ac = (2∑t_i)² - 4·n·∑t_i² ≤ 0 , dvs

n·∑t_i² - (∑t_i)² ≥ 0

Det er også let at se, at p(x) kun kan have en rod, hvis alle tallene {t_i} er ens. Hvis mindst to af tallene {t_i} er forskellige, gælder det skarpe ulighedstegn

n·∑t_i² - (∑t_i)² > 0

og det sikrer lokalt minimum for Q .

#7

Hmm ok

http://memeblender.com/wp-content/uploads/2012/04/forever-alone-meme-saturday-night.png

#9

Jeg beklager, jeg ikke rigtigt kan følge med i et par punkter. Du har valgt at lade p(x) stå for noget, uden jeg ved hvor det kom fra eller hvorfor du har valgt det. Når vi kommer til diskriminanten, mener jeg ikke, at d skal være mindre end 0, når reelle rødder ikke findes. Ønsker man at finde et reel (dobbelt)rod, skal d være lig med 0. 

Men vi kan snakkes ved (forhåbentlig). Hav en god nat :)

#11

Jeg valgte polynomiet for at vise, at der gælder

n·∑t_i² - (∑t_i)² ≥ 0

I polynomiet p(x) indgår kun de n tal {t_i} og en variabel x. Polynomiet er en sum af kvadrater og er derfor ikke-negativ for alle x. Det har derfor højst 1 reel rod, og dets diskriminant d er derfor ≤ 0 . Man ser også, at hvis bare 2 af tallene {t_i} er forskellige, er polynomiet positivt for alle x, og dets diskriminant er derfor < 0 i dette tilfælde, hvilket sikrer, at det(M) > 0 og dermed at Q(p,q) har et lokalt minimum for det fundne koefficientsæt (p,q) .

Hvis man ikke ønsker at vise dette, kan man henføre det som et specialtilfælde af Cauchy-Schwarz' ulighed.

#9 & #12

OK. Jeg tror jeg kan følge lidt bedre med efter at have læst om Cauchy-Schwarz' ulighed på nettet. Synes det måske lidt svært at svare på det (på mit eget sprog), når det er noget vi ikke har lært om eller har læst grundt om det før. Men tak!

Til 2.2a, har jeg hørt fra nogle i min klasse, at man skulle beregne determinanten af matricen for den angivne lineæare afbildning. Hvis det er lig med 0, så er det ikke en bijektiv. 

det(A) = det([1 2 1; 1 1 0; -1 0 1]) = 0.

Men, jeg er dog usikker på det, for jeg ikke vidste om det. Jeg har læst i bogen og bladret igennem, fandt jeg et par stykker; 

S2.4.2 "Lad f: Fⁿ→ F^m være en lineær afbildning. Der gælder (1) Hvis f er surjektiv er m ≤ n, (2) Hvis f er injektiv er m ≥ n, (3) Hvis f er bijektiv er m = n."

S3.4.7 "Lad A være en n x n- matrix. Da er A regulær netop hvis det(A) ≠ 0"

Kan man ellers godt svaret på noget andet end at sige, "Den er ikke bijektiv, når det(A) = 0"?

Til den sidste opgave har jeg forsøgt at løse det vha Maple (se vedhæftet fil). Kan sætningen 2.3.12 (s. 50) bruges, selvom det gælder for en m x n matrix?

#13

Det er helt korrekt, at afbildningen er bijektiv, hvis og kun hvis det(A) ≠ 0 .

#15

Gøre det noget, hvis jeg spørger dig "hvorfor" skal det være det? Men kan du hjælpe mig med den sidste opgave?

#16

I den sidste opgave 2.2b har man af impulsbevarelsen de tre ligninger

3m₁ -m₂ +3m₃ = 3m₁ + (5/2)m₃

2m₁ +3m₃ = 3m₁ + 2m₃

4m₁ + 2m₂ = 3m₁ + 3m₂ + (1/2)m₃

Lign II giver umiddelbart m₃ = m₁ , der indsat i Lign I giver m₂ = (1/2)m₁

Dette er også konsistent med Lign III.

Udegner vi nu den samlede kinetiske energi før og efter stødet, har vi

E_kin,før = (1/2)m₁·(v₁² + (1/2)v₂² + v₃²) = (1/2)m₁·(3²+2²+4² + (1/2)·(1²+2²) + 3²+3²) = (99/4)·m₁ , og

E_kin,efter = (1/2)m₁·(w₁² + (1/2)w₂² + w₃²) = (1/2)m₁·(3²+3²+3² + (1/2)·3² + (5/2)²+2²+(1/2)²) = 21·m₁

#16

Eller mente du den sidste opgave i 2.2a?

Her skal man undersøge, hvornår ligningen f(x) = b har mindst een løsning.

Her afleder man ligningerne

x₂ + x₃ = b₁ - b₂ , og

x₂ + x₃ = b₂ + b₃

En betingelse for mindst 1 løsning er b₁ - b₂ = b₂ + b₃

#17 & 18

Hold da op. Jeg beklager virkelig, at jeg ikke havde formuleret ordenligt, hvilken "sidste" opgave jeg mente. Tak for din tid. Jeg skulle kun lave opgave 2.1 og 2.2.a. Det var også den måde, jeg kom frem til i hånden. Men så endte jeg med at isolere b₁ = 2b₂ + b₃ Skal man fortsætte noget? (Er usikker på hvordan man skal svare på helt præcis). 

Hej!

Jeg sidder også med opgave 2.1 og er nået til 2.1 c)

Jeg forstår ikke helt hvad jeg skal skrive, når de beder om at opskrive matricen 

M(p  q) = (d  e)

Jeg kan godt se, at d og e er blevet oplyst i opgaven, men havd er det helt præcist M(p  q) vil sige ?