bølge

At de to bølger løber i hver sin retning kan jeg godt forstå.

Formen exp(ik(x-vt)) må betyde at bølgen starter i x med hastigheden v. Når tiden t går bliver leddet  x - vt mindre og mindre, hvilket for mig at se betyder at bølgefronten bevæger sig mod mindre og mindre x-værdier.

Omvendt kan formen exp(-ik(x-vt)) omskrives til exp(ik(vt-x)) hvor bølgefronten bevæger sig mod større og større x-værdier når tiden går.

Hvad der er højre og venstre skal jeg lade være usagt.

Jeg er enig i #0 med at det er forkert og det rigtige er e^ik(x+vt). I begge tilfælde er funktionen til tiden 0 i punktet med koordinaten 0 f(0, 0) = 1 . Vi ser nu på et kort tidsinterval dt. Det skal være så kort at man i en vis forstand holder sig inden for bølgellængden. Dette giver en ændring af stedkoordinaten  hvor funktionen er. Ændringen lades dx. Hvis man har x-vt i funktione skal dx være sådan at de nye koordinater giver samme funktionsværdi altså dx-vdt=0, hvilket let ses at give en større x koordinat altså bølgen bevæger sig fremad. Hvis der derimod havde stået x+vt skulle der gælde dx+vdt  = 0 så dx må være negativ. Bølgen vil bevæge sig i den negative retning.

En anden måde at se det på er at funktionen i fysikken ofte fortolkes som at det er realdelen, der har fysisk betydning. Realdelen er cos(k(x-vt) ) i den fremadskridende bølge. Hvis man skifter fortegn på  får man cos(-k(x-vt) = cos(k(x-vt)) altså den fremadskridende bølge

Bølgen exp(ik(x-vt)) repræsenterer en cosinusbølge cos(k(x-vt)) , der har en top for k(x-vt) = π/2, eller

x = π/(2k) + vt .

Når tiden vokser, flytter stedkoordinaten for bølgens top mod voksende x-koordinater, dvs. "mod højre".

Tilsvarende repræsenterer funktionen exp(ik(x+vt)) en cosinusbølge cos(k(x+vt)), der har en top for k(x+vt) = π/2  , eller

x = π/(2k) - vt

Når tiden vokser, flytter stedkoordinaten for bølgens top mod aftagende x-koordinater, dvs. "mod venstre".

Funktionen exp(-ik(x-vt)) repræsenterer en cosinusbølge cos(-k(x-vt)) , der har en top for -k(x-vt) = π/2 , eller

x = -π/(2k) + vt

Her vokser x-koordinaten igen med tiden t, så denne bølge bevæger sig også "mod højre".

okay men hvad er så forskellen på versionen med et minus tegn og den hvor man ikke har et? Hvis man bare tager realdelen så er der vist ingen forskel da cos(-x)=cos(x) men i denne sammenhæng, snakker jeg om egentilstande for impulsoperatoren i kvantemekanik.

Du har stadig ret i at det ikke betyder noget at skifte fortegn på k. Da du har kvantemekanik kan du måske forstå denne her mere generelle udledning. Givet en diffirentiabel funktion f(x-vt). Differentialet bliver

df = f'_xdx + f'_tdt

Hvis ser på hvordan et givet punkt på funktionen flytter sig med tiden gælder df =0 så vi har

f'_xdx+ f'_tdt = 0 <=> dx/dt =  -f'_t/f'_x = -  -v*f'(x-vt)/f'(x-vt) = v

Det er egentlig samme tankegang som i #2 blot mere generel og med mere avanceret matematik

Men jeg skifter jo egentlig ikke som sådan fortegn på k. Vi snakker om forskellen mellem funktionerne: exp(-ik(x-vt)) og exp(ik(x+vt)) - dvs. at det "relative" fortegn mellem koefficienten foran v og x er enten det samme eller omvendt. Men hvis som du siger, at de begge er to bølger mod venstre, hvad er så overhovedet forskellen på de to udtryk - en fasefaktor? 

#6

Ja, det er korrekt som du skriver, at der er en faseforskel mellem de to udtryk.

Bølgen exp(ik(x-vt)) har en top ved x = π/(2k) + vt , dvs for t = 0 er x = π/(2k) ,

mens

bølgen exp(-ik(x-vt)) har en top ved x = -π/(2k) + vt , dvs for t = 0 er x = -π/(2k) . Begge bølger bevæger sig "mod højre", men til tiden t = 0 har de top ved forskellige x-værdier.