Matematik
Differentialligninger
Hejsa, jeg har følgende problem:
Opgaven handler om luftmodstandens indvirkning, når man falder i frit fald. Jakob vejer 75 kg og hopper ud fra 7000 meters højde. Først antages at der ikke er nogen luftmodstand.
a) Opstil en differentialligning for Jakobs hastighed v målt i m/s og tiden t målt i sekunder.
Her ville jeg benytte Newton's anden lov og få y'' = g (og g = 9,82). Dette ville jeg så integrere og få v =y' = 9,82*t + c. Er dette korrekt eller skal vægten og højden bringes i spil - og hvordan?
b) Bestem en forskrift for v(t), når v(0)=0.
Her ville man så bare få c = 0, hvis opgave a er korrekt og dermed v = 9,82*t.
Nu kommer så det største problem. Hvis to ovenstående opgaver er korrekte, hvordan skal jeg så takle opgave c?
c) Nu tages hensyn til luftmodstanden, idet det oplyses at luftmodstanden ved små hastigheder er proportional med hastigheden. Proportionalitetskonstanten er 0,02. Bestem en forskrift for v under hensyn til luftmodstanden og med den førnævnte begyndelsesbetingelse (her går jeg ud fra, at der menes v(0)=0).
Svar #1
19. januar 2013 af dikkelmikkel (Slettet)
Hastigheden er givet ved hvor meget
dv/dt = a, altså hastigheden diff. er accelerationen, du ved hvad a(t) er (tyngdekraft?)
Du skal kun bestemme v jo så det er bestemt ud fra accelerationen ja glem massen indtil videre siden newtons 2. lov siger
ma = mg <=> a = g
b) her kan du integrere og bestemme c (det har du gjort :)
c) så newtons 2. lov giver m*a = mg- Fluft = mg - 0.02*v(t) => m*dv/dt = mg-0.02*v(t)
Denne differentialligning er lidt vanskeligere, men du har sikkert en løsningsformel. Jeg vil gerne give løsningen
v(t) = 50mg - 50*exp(-t / [50*m])*mg
Svar #2
19. januar 2013 af Lynd (Slettet)
Mange tak for hjælpen!
Jeg vil sætte mig ned og arbejde videre med det :)
Svar #3
19. januar 2013 af dikkelmikkel (Slettet)
Faktisk så har jeg været lidt dum med enhederne, i c) de skal jo passe:
m*a = mg- Fluft = mg - 0.02kg/s*v(t) => m*dv/dt = mg-0.02kg/s*v(t)
Skriv et svar til: Differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.