Matematik
grænseværdi
Spørgsmålet lyder:
har sin(log(x)x)/log(x)x en grænseværdi for x->0
Med lidt snilde ser man, at log(x)x går mod 0 for x gående mod 0. Desuden kender man den klassiske:
sin(x)/x -> 1 for x->0. (1)
Men mit spørgsmål er om, det er muligt at bruge denne ligning her. xlogx går jo helt klart langsommere mod 0 end x->0. Men trods det går de jo stadig begge mod 0, så er der nogen sætning, der siger om der vil gælde det samme om grænseværdien? Altså man er jo fristet til bare at skrive sin(y)/y y=xlog(x) og siden y->0 så har man jo "samme" ligning som (1). Men er det ikke snyd? Skal man ikke tage hensyn til, at y går langsommere mod 0, og hvis ikke, hvad siger at det er ligemeget?
Svar #1
08. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Da log(x)·x = log(xx) → log(1) = 0 for x → 0 , skal man finde grænseværdien af
sin(y) / y for y → 0 ,
som jo er lig med 1.
Hvis f og g er kontinuerte funktioner, og hvis g(x) → a for x → b , vil
f(g(x)) → f(a) for x → b .
Svar #2
09. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
okay. Men jeg bliver bare forvirret, når man skriver det eksplicit. Lad os antage, at vi ikke må bruge reglen for sammensat funktion til at starte med.
Så vil vi finde et δ
l sin(xlogx)/xlogx - 1l < ε
for x<δ
Man kan så vise for log den naturlige logaritme at:
l sin(xlogx)/xlogx - 1l < (xlogx)2
Vi ser, at vi kan vælge:
(δlog(δ))2 = ε
så hvis ovenstående løsning kan løses for δ, så har vi klaret det. Men hvem siger, at man altid vil kunne løse en ligning, som den der? Reglen for sammensat funktion må jo et eller andet sted antage, at det altid giver mening, siden den bare lader os vælge y=xlogx og så vælge ξ=√ε.
Hvordan kan man helt fra bunden argumentere med reglen for sammensat funktion for, hvordan vi kan vælge δ?
Svar #3
09. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Benyt d'Hôpital i stedet.
f(x) = sin(x·log(x)) , g(x) = x·log(x)
f '(x) = cos(x·log(x))·(log(x) + 1) , g'(x) = log(x) + 1
f '(x) / g'(x) = cos(log(xx)) → cos(log(1)) = 1 for x → 0
Benyttelsen af den sammensatte funktion kan begrundes med, at en funktion sammensat af to kontinuerte funktioner igen er kontinuert.
Skriv et svar til: grænseværdi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.