Matematik
grænseværdi for sin(1/x)
vis at sin(1/x) ikke har nogen grænseværdi. Umiddelbart er det intuitivt, jeg vil bare vide hvordan jeg kan bevise det, så definitionen af grænseværdi udnyttes så explicit som muligt.
vi har:
lsin(1/x)-al < ε for lx-al <δ
Antag der virkelig dette for en grænseværdi a. Fordi sin(1/x) er cyklisk gennemløber den for hvert interval [1/x,1/x+2π] værdier fra -1 til 1. Ligemeget hvilken værdi for a vi vælger kan vi derfor ikke ramme en grænseværdi.
Mit bevis er intuitivt let at forstå, men det udnytter ikke rigtig definition rigtig. Kan man bruge den mere eksplicit til at vise, at man aldrig kan afparere noget epsilon?
Svar #1
11. februar 2013 af peter lind
Det kommer sandelig an på for hvad x går imod. For x ≠ 0 er funktionen kontinuert og har derfor en grænseværdi for ethvert x. Der hvor der kommer problemer er for x -> 0 . Jeg holder mig for simpelhedens skyld til x>0 i det følgende, men det gælder også for x negativ For x ->0 gælder 1/x ->∞ og vil kunne antage en vilkårlig stor værdi. Det vil betyde at sinus funktionen for disse værdier vil kunne antage alle værdier mellem og inklusive -1 og 1
Svar #2
11. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
jeg mente også gående mod 0. Sorry.
Men ja, du har samme pointe som mig. Jeg ville bare vide om man kunne vise med definitionen, at ethvert epsilon ikke kunne afpareres. Sådan algebraisk altså.
Svar #3
11. februar 2013 af peter lind
De fleste vil nu nok sige, at det er godt nok fordi det er så indlysende. Hvis du vil gøre det mere præcist så vælg et eller andet vilkårligt δ>0. Da 1/x går mod uendelig for x -∞ og kontinuert for x>0 kan du finde et x1< δ så 1/x1 = 2nπ+π/2, hvor n er et helt tal og altså sin(x1) = 1. Tilsvarende kan du finde et tal x2 så sin(x2) = -1. Ligegyldig hvor lille du vælger δ kan du finde værdier hvor funktionen antager begge værdierne -1 og 1, hvilket er i modstrid med at funktionen har en grænseværdi idet for et vilkårligt x vil forskellen mellem f(x) og enten 1 eller -1 være mindst 1
Skriv et svar til: grænseværdi for sin(1/x)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.