arcosh og sinh

             i hvilken sammenhæng?

I den sammenhæng at andengradsligningen har to løsninger. Jeg er ikke givet andet end det ovenstående. 

 formentlig fordi 
                               kun y + √(y² -1) er af interesse i udtrykket arcosh(y) = log(y + √(y²-1))

det forstår jeg ikke. Jeg skal vise at sidstnævnte udtryk gælder ved at løse en andengradsligning. Men det synes jeg ikke forklarer hvorfor jeg skal vælge det ene og ikke det andet. 

#4

Funktionen f(x) = cosh(x) er en lige funktion. Der gælder, at cosh(-x) = cosh(x) . Funktionen cosh(x) er derfor ikke injektiv, og den har derfor strengt taget ikke en omvendt funktion. Men dens restriktion til definitionsmærngden [0;∞[ er injektiv og har derfor en invers, som man kalder Arcosh, eller cosh^-1 . Når man skal finde dens forskrift, skal man derfor begrænse sig til den ikke-negative løsning i ovenstående
2.-gradsligning.

cosh(x) = cosh(-x) så man er tvungen til at begrænse den inverse kun at eksistere for  x≥0. Den negative løsning svarer til at man får et negativt x for y > 1.  Undersøg evt. monotoniforholdet for løsningern som bevis for dette.

okay tak gutter :) Men jeg skal gøre det samme for sinh, og den er jo injektiv. Alligevel får jeg to løsninger til min andengradsligning. Er der nogen god forklaring her?

#7

Man løser en ligning for e^x . Der er en positiv og en negativ løsning til ligningen. Man skal jo vælge den, hvor e^x > 0 for at kunne komme tilbage til x.

okay. Men så er det vel også grund nok for at udvælge den positive løsning for udregningen med cosh(x)?

#9

Nej, det er det ikke, for der fås to positive løsninger.

For y = cosh(x) får man ligningen

e^2x - 2ye^x +1 = 0 , y ≥ 1

med rødderne

e^x = y ± √(y² -1) , y ≥ 1

der jo begge er positive.

For y = sinh(x) får man ligningen

e^2x -2ye^x -1 = 0

med rødderne

e^x = y ± √(y²+1) ,

hvor de to rødder altid har modsat fortegn.