Matematik
"Ang. Omdrejningslegeme"
Omdrejningskugle får rumfanget:
r
1. V=pi*S [Kvadratrod r^2 - x^2]^2 dx =
-r
r
2. pi*S [(Kvadratrod r^2 - X^2)] dx =
-r
r
3. pi*[r^2 * x - 1/3 x^3]
-r
4. pi((r^2*r-1/3*r^3)-(r^2*(-r)-1/3*(-r)^3)=
5. 4/3*pi*r^3
6. rumfanget af kuglen er 4/3*pi*r^3
Der bliver integret i denne bevis, men hvad sker der præcis fra punkt 1 til 6 altså hver trin?? er der nogen der kan give en forklaring, så jeg kan fatte det helt..
Svar #1
02. oktober 2005 af laur@ (Slettet)
eksempel(bevis):
Omdrejningskugle får rumfanget:
r
1. V=pi*S [Kvadratrod r^2 - x^2]^2 dx =
-r
r
2. pi*S [(Kvadratrod r^2 - X^2)] dx =
-r
r
3. pi*[r^2 * x - 1/3 x^3] =
-r
4. pi((r^2*r-1/3*r^3)-(r^2*(-r)-1/3*(-r)^3)=
5. 4/3*pi*r^3
6. rumfanget af kuglen er 4/3*pi*r^3
Der bliver integret i denne bevis, men hvad sker der præcis fra punkt 1 til 6 altså hver trin?? er der nogen der kan give en forklaring, så jeg kan fatte det helt..
Svar #2
02. oktober 2005 af laur@ (Slettet)
og trin 3: r øvre og -r nedre sidst på intervallet...
håber i forstår det...
Svar #4
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Udgangspunktet for beviset er den observation, at en cirkel med centrum i origo (0,0) og radius r > 0 har ligningen:
x^2 + y^2 = r^2
I koordinatsystemets øvre halvplan er cirklen graf for funktionen
f(x) = sqrt(r^2 - x^2)
(indse dette). En 2*pi-rotation (360graders rotation) af punktmængden
M = {(x,y)| -r =
om førsteaksen resulterer i et omdrejningslegeme; i dette tilfælde en kugle med centrum i (0,0,0) og radius r. Fra teorien om volumen af omdrejningslegemer bestemt ved integration har vi, at kuglevoluminet V er
V =
r
pi*S[f(x)^2]dx =
-r
r
pi*S[sqrt(r^2 - x^2)^2]dx =
-r
r
pi*S[r^2 - x^2]dx
-r
Evalueres dette eksplicit ved hjælp af stamfunktioner (en stamfunktion til r^2 er (r^2)x, og en stamfunktion til x^2 er (1/3)x^3), får man
V =
pi*[(r^3 - (1/3)r^3)-(-r^3 + (1/3)r^3) =
pi*((2 - 2/3)r^3) =
(4/3)pi*r^3
som netop er den velkendte formel for kuglevoluminet.
//Epsilon
Svar #5
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Manglende højreklamme ']' indsættes i tredjesidste linje af beregningen af V.
//Epsilon
Svar #6
02. oktober 2005 af laur@ (Slettet)
pi*((2 - 2/3)r^3) =
(4/3)pi*r^3 "
hvordan får du r^3 lige efter parantesen når der i bogen står:
pi((r^2*r-1/3*r^3)-(r^2*(-r)-1/3*(-r)^3)=
4/3*pi*r^3
rumfanget af kuglen er 4/3*pi*r^3
..
Kan du også være sød at forklare hvordan man præcis får 4/3*pi*r^3 .. kan du evt. forklare det led til led, for forstår det ik helt?
Svar #7
02. oktober 2005 af laur@ (Slettet)
men som sagt
Kan du også være sød at forklare hvordan man præcis får 4/3*pi*r^3 .. kan du evt. forklare det led til led, for forstår det ik helt?
Svar #8
02. oktober 2005 af laur@ (Slettet)
pi((r^2*r-1/3*r^3)-(r^2*(-r)-1/3*(-r)^3)=
for at den giver
4/3*pi*r^3 ??
det er det som er vigtigt for mig som jeg vil vide...
Svar #9
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Lad os tage udgangspunkt heri:
pi*[(r^3 - (1/3)r^3)-(-r^3 + (1/3)r^3)]
Faktoren r^3 optræder i hvert af de fire led mellem klammerne [] og kan derfor faktoriseres udenfor. Tilbage står
(1 - 1/3) - (-1 + 1/3) = (2/3) - (-2/3) = 4/3
hvorfor voluminet er
V = (4/3)pi*r^3
Tydeligere lader det sig næppe forklare.
//Epsilon
Skriv et svar til: "Ang. Omdrejningslegeme"
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.