f(x,y)

alment:

  ekstrema for f(x,y) er kun mulige i

                               i)   et grænsepunkt for Dm(f(x,y))

                               ii)  et indre punkt, hvor f_x = f_y = 0 eller punkter hvor f_x eller f_y ikke er definerede

  de såkaldte kritiske punkter for f(x,y).

  Hvis funktionen f(x,y) og dens første og anden partielt afledede er kontinuerte i en åben skive
  indeholdende (a,b) og hvis f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0
  så

                               i)   f_xx < 0 and f_xx • f_yy - f_xy² > 0 i (a,b)      ⇒   lokalt maksimum

                               ii)  f_xx > 0 and f_xx • f_yy - f_xy² > 0 i (a,b)      ⇒   lokalt minimum

                               iii) f_xx • f_yy - f_xy²< 0 i (a,b)      ⇒   saddelpunkt

                               iv) f_xx • f_yy - f_xy² = 0 i (a,b)      ⇒   intet kan konkluderes
 

#1

Okay, - det er måske lidt over mit niveau det med de 4 konditioner. Indtil videre er jeg ikke stødt på en opgave hvor funktionen ikke har et min eller maks (konstruerede opgaver), så det virker lidt mystisk hvis der ikke er nogle af delene. Men når jeg plotter funktionen (vedhæftet), - ja så ser det altså ud som om der "kun" er et saddelpunkt i (0,0) - er det korrekt ?

                       f_x = 4x + 4y²

                       f_y = 4y•(2x + 3)

                       f_xx = 4

                       f_yy = 4•(2x+3)

                       f_xy = 8y

                                                               gennemfør selv testen ifølge ovenstående

#4

Vedhæftede kan ikke vises. Måske er det kun på min computer.

Den anførte flade har da en tangentplan i (0,0), og denne plan er parallel med xy-planen.

# 4

#6

Fladen har også tangentplan i (-sqrt(6)/2, -3/2) og (sqrt(6)/2, -3/2).

I #6
er der kun svaret på:
"Kan det passe at fladen for f(x,y) ingen tangentplaner parrallel med xy-planen har?"

som ikke kan passe, da
                                                 z = f(0,0) = 10                          _{( er et oplagt dementi af påstanden )}

er ligningen for en plan parallel med xy-planen z = 0,

og slet ikke tænkt som en oplistning af evt. andre z = k
 

#9

Du er uhyr hurtig til at tolke. I #8 er der kun oplyst de resterende punkter hvor fladen har tangentplaner parrallelle med xy-planen.

Jeg er GANSKE udemærket klar over at Andersen11 på alle måder er klar over at der muligvis er flere punkter hvor fladen har tangentplaner parrallelle med xy-planen. Det var ment som en oplysning, der evt. kunne verificeres - i tilfælde af at det var helt galt.

Men samtidig kan jeg godt se, at det ikke var særlig informativt, eller brugbart. Jeg beklager.