Konvergens af rækker

Se på om grænseværdien af aⁿ⁺¹/aⁿ for n ->∞ er 0

Jeg har gjort følgende:

   a_n+1/a_n = ((-1)ⁿ⁺¹ (n+1)^p/(n+2))/((-1)ⁿ n^p/(n+1))

               = ((-1)ⁿ⁺¹(n+1)^p(n+1))/((-1)ⁿn^p(n+2))

               = ((-1)(1+(1/n))^p(n+1))/(n+2)

Er dette rigtigt, og kan jeg reducere det yderligere, eller skal jeg konkludere at for n->∞ så går udtrykket mod ∞/∞ og derfor skal jeg benytte L'Hopital, eller er jeg helt galt på den?

Det går ikke mod uendelig. I (n+1)/(n+2) kan du dividere med n i tæller og  nævner

Okay, jeg har gjort som du sagde i #3, og har nu fået et brugbart udtryk, og jeg får

     lim [n -> ∞] a_n+1/a_n = lim [n -> ∞] (-1)(n+1/n)^p((1+1/n)/(1+2/n)) = -1  for alle værdier af p.

Hvis jeg benytter mig af forholdstesten for generelle rækker, som siger at

   Lad Σ^∞_n=0 a_n være en række og antager at grænsen

        lim [n -> ∞] |a_n+1/a_n| = a

   eksisterer. Da gælder:

        (i) a < 1 => rækken konvergerer absolut

        (ii) a > 1 => rækken divergerer

        (iii) a = 1 => testen giver ingen konklusion

Ud fra dette får jeg at

     lim [n -> ∞] |a_n+1/a_n| = lim [n -> ∞] |(-1)(n+1/n)p((1+1/n)/(1+2/n))| = 1

Dvs. jeg hverken kan se om rækken divergerer eller absolut konvergerer (men dette tror jeg ikke er rigtig gjort).

Du ikan ikke ignorere størrelsen af p.

Så hvad gør jeg forkert? Er

     lim [n -> ∞] a_n+1/a_n = lim [n -> ∞] (-1)(n+1/n)^p((1+1/n)/(1+2/n)) = -1  for alle værdier af p.

rigtigt nok eller er der noget jeg har misset?

Se på den oprindelige formel For p>1 går tælleren hurtigere mod uendelig end nævneren så det enkelte led går leddene numerisk mod uendelig