Matematik

3.gradsligning

17. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

Hello

Hvilken metode bruges der til at løse 3.gradsligninger?
Jeg selv bruger Newton-Raphsons-algoritme(den kan man også løse 4. og 5. gradsligninger, den er dog upålidelig da den kun angiver den approksimative x-værdi og ikke fortæller noget om hvor mange løsninger der findes)

På forhånd mange tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)

F.eks. Cardano's metode.

Svar #2
17. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#1

ikke for at være besværlig, men den kender jeg ikke( går stadigvæk i folkeskole). Kan du uddybe?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Det er noget besværligt at skrive op herinde i fora'et. Kunne jeg få dig til at kigge på linket her:

http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html

Svar #4
17. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#3

jeg er i øjeblikket et stort spørgsmålstegn! Jeg tabte vist no´k tråden i anden sætning.

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. oktober 2005 af Waterhouse (Slettet)

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae/ae0103.pdf er vist den mest pædagogiske udgave jeg kender.

Svar #6
22. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

Jeg har besluttet mig for at 'vække' min tråd til live igen, og spørger derfor endnu engang:
Er der en der i 'bløde og runde ordø kan forklare hvordan 3.gradsligninger løses?

De ovenstående links forekommer mig som det rene volapyk.

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. oktober 2005 af allan_sim

#6.
Hvis du vil have en generel løsningsformel ligesom til 2. gradsligninger, så skal du nok have fat i et af ovenstående links. Der er ikke en nydelig simpel formel...

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. oktober 2005 af Therackoo (Slettet)

2x^3 - 4x^2 + 3x - 4 = 0

Først dividerer vi den givne ligning med a^3 og får en ligning med formen

x^3 + ax^2 + bx + c = 0

Substitutionen x = t - a/3 fjerner andengradsleddet, og vi får en tredjegradsligning af formen

t^3 + pt + q = 0

For at løse denne ligning, find to tal u og v sådan at

u^3 - v^3 = q
uv = p/3

En løsning af vores ligning er så givet af

t = v - u

som kan kontrolleres ved direkte indsættelse af denne værdi for t i 3. ligning.

Svar #9
22. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#7

Ærlig talt ved jeg ikke helt hvad jeg ville have, men jeg tænkte bare på at få en forklaring af en fremgangsmåde.

#8

Den skal jeg lige tygge lidt på, Therackoo. Du skal endelig ikke undre dig hvis jeg senere kommer med et spørgsmål, eller to:)

Kan samme fremgangsmåde bruges til alle 3.gradsligninger??

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Cardano's metode er der ikke så meget at gøre ved, den er som den er og kan ikke simplificeres.

Men tillad mig at råde dig til at lade dette sterile emne ligge. Du vil i praksis aldrig komme ud for at skulle løse en trediegradslingning med en sådan metode.

Alle de trediegradsligninger, du i din skole/studietid måtte støde ind i i matematikundervisning, vil indgå i en kontekst hvoraf mindst een af rødderne vil fremgå. Alternativt vil polynomiet være af en sådan karakter, at en rod let kan gættes.

Med en rod i hånden vil der kunne foretages polynomiers division og dermed opspaltes trediegradspolynomiet som et produkt af et førstegrads- og et andengradspolynomium. Bestemmelse af rødderne er en triviel sag med polynomiet faktoriseret på denne måde.

I de tekniske discipliner kan der i viss e sammenhænge optræde behov for at bestemme rødder i højeregrads polynomier. Disse findes ad numerisk vej.

Lad mig slutte med at nævne en nyttig sætning, der kan være behjælpelig med at bestemme evt rationelle rødder i et vilkårligt n'te-grads polynomium:

Lad polynomiet P(x) være givet ved

P(x) = a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0

hvor a_0,...,a_n er hele tal og a_n != 0. Hvis den uforkortelige brøk z=p/q, p E Z, q E N, er rod i P(x), er p divisor i a_0 og q divisor i a_n.

Lad os tage et ekspempel til illustration. Eventuelle rationelle rødder i polynomiet

P(x) = 2x^4+x^3-6x^2+x+2

må ifølge sætningen skulle søges blandt tallene

z = +/-1, +/-2, +/-½

Ved prøve ses, at z=1, z=-2 og z=-½ er rødder. Da

(x-1)(x+2)(x+½) = x^3+3/2x^2-3/2x-1 fås ved polynomiers division

P(x) = (x^3+3/2x^2-3/2x-1)(2x-2) <=>

P(x) = 2(x-1)^2(x+2)(x+½)

Følgelig er z=1 dobbeltrod i P(x).

Svar #11
22. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#10

Tak, tak....

Grunden til min voksende interesse indenfor løsning af ligninger af højere orden er at min matematiklærer ikke troede på at jeg kunne løse dem-det måtte jeg da modbevise:)

Svar #12
22. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#8

'Substitutionen x = t - a/3 fjerner andengradsleddet, og vi får en tredjegradsligning af formen'

t^3 + pt + q = 0

Hvordan er du nået frem til 'subsitutionen'??

Skriv et svar til: 3.gradsligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.