trippel integral

For et givet z er det en cirkelskive med radius z. Arealet af sådan en cirkelskive er π*z² rumfanget af skiven med tykkelsen dz er π*z²dz og massen af denne skiver er π*z³dz. Massen er så ∫₀²πz³dz

uhh, jeg kender kun til m = ∫∫∫ _T ς(x,y,z) dV

Men skal jeg bruge 2pi ? da det er en cylinderform ? 

Og hvordan hvad jeg hvad radius er ? 

   2pi    2      radius

 ∫        ∫       ∫                z r dzdrdθ    

  0        0      r 

Det giver det samme resultat. Integrationen med hensyn til θ giver faktoren 2π. Derefter skal r integreres fra 0 til z. Det giver  z²/2

okay jeg kom frem til 

2pi    2      radius =2

∫        ∫       ∫                z r dzdrdθ   =  

  0        0      r

 2pi      2                                              2pi      2

  ∫        ∫        [1/2 z^2 * r]  dzdrdθ   = ∫          ∫    2r - 1/2 r^3 drdθ = [r^2 - 1/8r^4] = 2 * 2pi = 4pi 

  0        0                                               0        0

Men radius var et gæt ... hvordan finder jeg den ? 

Du skal 

1.   integrere med hensyn til θ Da grænserne og funktionen er uafhængig af θ giver det faktoren 2π

herefter  har du et dobbeltintegral med integration med hensyn til r og z.

2. Derefter skal du integrere med hensyn til r. Opgaven siger at den er begrænset af z. Du skal altså integrere fra 0 til z.

3. Derefter er der kun z tilbage som du så skal integrere med grænserne 0 og 2 ifølge opgaven

Tusind tak Peter -

Mht. Massemidtpunktet for T kan jeg heller ikke få den til at gå op

             2pi    2         2

1/m*      ∫        ∫       ∫                z^2  r dzdrdθ  

               0      0        r

Er det korekt ?

Bortset fra grænserne så ja. Du skal gå gennem de samme punkter som før. Nu er integranten blot blevet ganget med et ekstra z

okay er grænserne forkertet ? 

Ja som nævnt tidligere 0<θ<2π, 0<r<z,  0<z<2

okay - det kan jeg godt se det giver dog det samme - bare langt flere udregninger

tak for hjælpen 

en anden opgave - The area T in space are bounded by the surfaces z = (x^2 + y^2)^2 and z = 1. 

Determine the volume of T [Hint: Cylinder coordinates]. 

dette hint betyder jeg kan bruge  V=  ∫  ∫  ∫  ?  r dzdrdθ

eller hvordan skal jeg forstå dette ? altså hvordan ved jeg hvad T er ? 

Det er korrekt. Den kan beregnes på samme måde som det foregående her er grænsen for r blot 0 og z^1/4 og for z  0 og 1

tak igen Peter - Hvorfra har du 0<r<z^1/4 ??  j

du har at begrænsningen for r er givet ved z = (x²+y²)² = (r²)² = r⁴

tak for det 

Lige et tip til den slags opgaver. Få lavet en tegning, graf eller lignende af systemet. Der findes programmer, der kan lave graferne for dig

ja men jeg skal til eksamen uden hjælpemidler - ellers tak