Gauss' Eliminationsmetode

Du kan læse om det her http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination

Fornemt.

Jeg vil forsøge at kigge på den, men du kender vel ikke en dansk hjemmeside med forklaring og eksempler. Det er lidt anstrengende at læse det hele på engelsk. Men hvis der ikke er andre veje, jamen så må jeg hive ordbogen frem. :)

Et spørgsmål mere; Er Gauss' Eliminationsmetode ikke den samme metode som determinatmetoden?

#2

Du kan jo altid lade google oversætte siden til dansk, hvis du har problemer med det sproglige. Der findes sikkert også sider på dansk. Det nemmeste er at google selv.

Og nej, Gauss' eliminationsmetode er ikke det samme som determinantmetoden.

#1:  Du var uheldig med din henvisning, for ligningssystemet i første eksempel har ingen løsning.  Selv ikke min lommeregner vil.

Men jeg kan da finde et andet eksempel:

x    y    z        k

3   -5   7   :  14

5    2   2   :   15

1    2   3   :   14

Man skal så lave række-søjle operationer for at skaffe 0-er under diagonalen. Man starter med søjlen længst til venstre og arbejder sig mod højre, søjle for søjle.

For hver ny søjle starter man med at pivotere, således at numerisk største tal i søjlen står på diagonalen. Dette for at mininere afrundingsfejl:

5    2   2   :   15

3   -5   7   :  14

1    2   3   :   14

3-tallet i 2. række elimineres ved:  3*(første række) - 5*(anden række):

1-tallet i 3. række elimineres ved:  (første række) - 5*(tredie række):

5     2     2    :   15

0   31  -29   :  -25

0   -8   -13    :  -55

Man kigger nu på anden søjle. Pivotering er unødvendig.

-8-tallet elimineres ved:  8*(anden række) + 31*(tredie række):

5     2        2    :   15

0   31    -29   :  -25

0     0  -635    :  -1905

Herefter findes:

z = -1905 / -635 = 3

y = ( -25 + 29z ) / 31 = 2

x = ( 15 - 2y - 2z ) / 5 = 1

Denne fremgangsmåde anbefales, for at minimere afrundingsfejl

#4

Jeg havde nu ikke læst omhyggelig korrektur på artiklen, før jeg henviste til den, men det er nu ikke korrekt, at ligningssystemet ikke har nogen løsning. Tværtimod har det uendeligt mange løsninger af formen

x = 2z - 3 , y = -z +4 , (z ∈ R) .

Det er korrekt, at ligningssystemets determinant er 0, men det forhindrer ikke at Gauss' eliminationsmetode stadig kan anvendes.

#5:  Jamen, du har da ret matematikteoretisk set. Men når man skal løse et problem til praktisk brug ( beregning af gearkasse, dimensionering af en bro, dimensionering af et krdsløb, osv. )  er det yderst sjældent, at "uendeligt mange løsninger" er et brugbart svar, eller for den sags skyld lommeregnerens "error".

Gauss' eliminationsmetode er udviklet til praktisk brug, nærmere bestemt til løsning af større lineære ligningssystemer vha. computere, og de "smarte" af dem vil nok give svaret "determinand = 0", eller i værste fald vil de grundet en afrundigsfejl finde frem til, at determinanden alligevel ikke er heeelt = 0. De regner så videre og får et helt vanvittigt resultat med een løsning. Sådan er det i virkelighedens verden.

#6

Jeg må her gøre opmærksom på, at spørgsmlet er stillet under matematik. Det forekommer ganske ofte i matematik, at man løser ligningssystemer, der ikke har et endeligt antal løsninger. At lommeregneren ikke er i stand til at rumme disse tilfælde, viser så lidt om begrænsningerne i dette redskab.