Matematik
Hjælp til differentialligninger
Jeg sidder med tre ligninger med differentialligninger som emne..
1.opgave.
Jeg skal bestemme den løsning f(x) til differentialligningen y´= 1/(x+3), der opfylder at f(0)=3.
Jeg har gjort følgende:
y´= 1/(x+3) <=> y = lnx+3 + c
Og det oplyses at f(0) =3, vi har så
3= ln0+3+c
3-ln(3)=c
Dvs at løsningen bliver f(x)= lnx+3+3-ln(3)
korrekt?
Jeg har så to opgaver, hvilke jeg ikke helt kan skue.
2.opgave lyder:
Bestem til differrentialligningen
y´=cosx/y , y > 0 den løsning, hvis graf indeholder punktet P(pi,2)
3.opgave lyder:
En funktion f er løsningen til differentialligningen y´=x+2/y
Grafen for f går gennem punktet P(2,-2)
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P
Bestem forskrift og definitionsmængde for f.
Jeg håber at der er nogen, som kan give nogle hint til at komme videre med disse opgaver..
Svar #1
01. november 2005 af Duffy
y(x) = ln(x+3)-ln(3)+3
2 - y(x) = (2*sin(x)+4)^(1/2)
3 - y(x) = -sqrt(x^2+4*x-8) , Dm(f) = ]-2+2*sqrt(3) ; oxo[
Find selv tangentligningen.
Duffy
Svar #2
01. november 2005 af Alima (Slettet)
ja selvfølgelig. (parentesen)
hvordan kommer du frem til løsningen i henholdsvis 2 og 3?
Svar #3
02. november 2005 af Alima (Slettet)
Svar #5
02. november 2005 af Stina05 (Slettet)
smukt..
Jeg har så styr på opgave 1 og 3 nu.
Du har skrevet resultatet op i opgave 2, men hvordan er du kommet frem til dette?
Svar #6
02. november 2005 af Epsilon (Slettet)
(Opgave 2)
"Bestem til differentialligningen
y' = cos(x)/y, y > 0
den løsning, hvis graf indeholder punktet P(pi,2)."
Separation af de variable giver
y dy = cos(x)dx <=>
S[y]dy = S[cos(x)]dx <=>
1/2*y^2 = sin(x) + C (*)
hvor C er en arbitrær integrationskonstant. Eftersom integralkurven skal indeholde punktet P(pi,2), har vi
C = 1/2*(2)^2 - sin(pi) = 2
og dermed fås af (*), da y > 0, at
y = sqrt(2*sin(x) + 4)
Da det forlanges, at løsningen skal være kontinuert og differentiabel i et så stort interval som muligt omkring x = pi, må
2*sin(x) + 4 > 0 <=> sin(x) > -2
Dette er klart opfyldt for ethvert x, og dermed er
y(x) = sqrt(2*sin(x) + 4), x E R
den søgte løsning.
//Epsilon
Svar #7
02. november 2005 af Stina05 (Slettet)
tak for det hurtige svar..
Jeg er helt på på første del, men der rejser sig et spørgsmål, da du skriver, "Da det forlanges, at løsningen skal være kontinuert og differentiabel i et så stort interval som muligt omkring x = pi, må ..."
Kan du venligst forklare dette?
Svar #8
02. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Fra undervisningen bør det være velkendt i forbindelse med arbejdet med differentialligninger, at det kræves, at løsningskurven skal være kontinuert og differentiabel i et interval omkring punktet, som kurven skal indeholde. Normalt ønsker man kontinuitet og differentiabilitet i et så stort interval som muligt omkring punktet for at kunne angive løsningens maksimale (naturlige) definitionsområde.
I det specifikke tilfælde ved vi fra differentialregningen, at kvadratrodsfunktionen sqrt(x) er differentiabel i R+ (x>0). Med henblik på at angive definitionsmængden for den søgte løsning skal vi derfor sikre, at "indmaden"
2*sin(x) + 4 > 0
//Epsilon
Skriv et svar til: Hjælp til differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.