Foreningsmængde af intervaller

Det hedder en fællesmængde. Du skal vise inklusion begge veje

Der er tale om fællesmængden af en strengt aftagende følge af åbne intervaller.

Det er rigtig. Men hvordan viser jeg, at fællesmængden giver [0,1]. 
Jeg tænker, at jeg først vil vise, at [0,1] tilhører fællesmængden, og så vise den anden vej også. Det er i hvert fald den metode man plejer at bruge. 
Men jeg kan ikke se hvordan jeg skal gøre det? 

#3

Det er vel klart, at [0;1] tilhører fællesmængden, da [0;1] er indeholdt i samtlige intervaller ]-1/n ; 1+(1/n)[ . Tilbage er så at vise den anden vej.

Ja, okay. 
Men kan man så ikke vise det ved kontraposition? Og antage, at x∉[0,1], altså at x > 1 og x < 0? 
 

#5

Du mener sikkert at antage at x > 1 eller x < 0.

Antag et ε > 0 og vis, at intervallet ]-ε ; 1+ε[ indeholder punkter, der fra et vist trin n ligger uden for alle intervallerne ]-1/n ; 1+(1/n)[ .

Så vi har, at x > -ε og x < 1+ε, så x-1 < ε. Eller går jeg helt forkert til værks?
Men hvordan får jeg 1/n med? For jeg ved jo ikke noget om n.

#7

Hvis man vælger et x skarpt mellem 1 og 1+ε, dvs så 1 < x < 1+ε, gælder der, at

1+(1/n) < x

for ethvert helt n der er større end 1/(x-1) og derfor er x ∉ ]-1/n ; 1+(1/n)[ .

Et tilsvarende argument benyttes ved intervalendepunktet 0.

Så for det andet intervalendepunkt vælger vi et x skarpt mellem -ε og 0, og med et n > 1/x? 

#9

Man vælger et x med -ε < x < 0, og så finder man n > -1/x .

Ja, det var det jeg mente (: Mange tak, 
Jeg skal også vise, at foreningsmængden for samme intervaller er ]-1,2[. 
Der er det også nemt, at vise, at x ∈ ´]-1,2[, da det er det første interval. Men den anden vej kniber det lidt med. Så antager jeg at x ∈ ]-1,2[. Og så har vi, at x > -1 eller x < 2, og så er det jeg går død igen. 
Så er det jeg skal bestemme et n igen, men det er jeg ikke så god til. Har du et hint?