Differentialligning separation

Du kan slippe nemmer over det ved at konstatere at e^2C = k er en konstant og bruge k i stedet

Du kan ikke skrive for eks. y(x) = 7  y er en funktion af x og højre side skal indeholde en funktion af x

Du skal bare sætte de beregnede værdier af C (eller k) ind i den fundne generelle løsning

Hvordan mener du? er det ikke det jeg har gjort ved at finde C og derefter indsætte i √((x²+1)*e^2C-1)

Du indsætter ikke kun C men også en værdi for x

Nårh så jeg får bare:

For y(3)=1     √((x²+1)*e^2*(-0.8047)-1)

For y(3)=3     √((x²+1)*e⁰-1) 

For y(3)=-7     √((x²+1)*e^2*(0.8047)-1)

Er dette så de endelige løsninger? Jeg forstår ikke helt hvornår jeg er færdig... 

Ja; men du bør finde e^2C i de enkelte tilfælde ikke bare som en potens af noget Dernæst . gange resultat ind i parentesen og tilslut trække sammen  på tallet. 

så de endelige løsninger til differentialligningen bliver 

For y(3)=1     √((x²+1)*(-0.8))  =  -0.8x²-0.8

For y(3)=3     √((x²+1)*0)  =  0 

For y(3)=-7     √((x²+1)*0.8) = 4x²+4

Du skal erstatte e^2C med beregningen af dette tal ikke med 2C

Du kan ikke bare smide kvadratrodstegnet eller de -1 væk

For y(3)=1     e^2*(-0.8047)=2    =>   √((x²+1)*2-1)  ≈  √(2x²+1)

For y(3)=3     e^2*0=0   =>    √((x²+1)*0-1)  =  √(x²)

For y(3)=-7     e^2*(0.8047)=5   =>   √((x²+1)*5-1)  ≈  √(5x²+4)

For den generelle løsning finder man

y² = k·(x²+1) - 1

For y(3) = 1 skal der derfor gælde 1 = k·10 - 1 , dvs k = 1/5

For y(3) = 3 skal der gælde 3² = k·10 - 1 , dvs k = 1

For y(3) = -7 skal der gælde (-7)² = k·10 -1 , dvs k = 5

Ah okay :) Er de fundne talværdier for k så bare løsningerne til differentialligningen, altså hhv. 1/5 , 1 og 5

#10

Det er konstanterne, der indgår i løsningen.

For y(3) = 1 er løsningen y(x) = [ (x²+1)/5 - 1 ]^1/2 = [ x² + (4/5) ]^1/2 ,

For y(3) = 3 er løsningen y(x) = [ (x²+1) - 1 ]^1/2 = x ,

For y(3) = -7 er løsningen y(x) = -[ 5x² + 4 ]^1/2

For y(3) = 3 er løsning

 y(x) = [ (x²+1) - 1 ]^½ = |x|

Denne funktion er ikke differentiabel i 0 og gælder derfor ikke for x=0

Tusind tak for hjælpen og tålmodigheden :)

#12

Den løsning er jo ikke differentiabel i 0 . Løsningen y(x) = x er derimod en løsning til den givne differentialligning, der opfylder begyndelsesbetingelsen y(3) = 3 .

Strengt taget for man løsningen |y| = |x| så y=±x

#15

Jo, men kun løsningsdelen y = x opfylder begyndelsesbetingelsen.

Løsningen er givet ved

y² = k·(x²+1) - 1

hvor k fastlægges af betingelsen y(3) = 3 til k = 1 . Man har da

y² = x² .

Den eneste differentiable løsning, der opfylder denne ligning og begyndelsesbetingelsen y(3) = 3 er så funktionen y(x) = x .