Vektorregning

cirklen
                                                     (x - a)² + (y - b)² = r²

har i røringspunktet Q(x_o,y_o)
tangenten 
                                                     (x_o - a)(x - a) + (y_o - b)(y - b) = r²
                                                  
hvor P(x,y) er et variablet punkt på tangenten.

                                  

i anvendelse:

cirklen
                                                     (x - 10)² + (y - 0)² = 36

har i røringspunktet Q(x_o,y_o)
tangenten 
                                                     (x_o - 10)(x - 10) + (y_o - 0)(y - 0) = 36
                                                  
gennem (0,0)

   dvs
                                                     (x_o - 10)(0 - 10) + (y_o - 0)(0 - 0) = 36

                                                    10(x_o - 10) = -36

                                                     x_o = -(36/10) + 10 = -(36/10) + (100/10) = (64/10) = (32/5)
                                                   

cirkelligning:
                                          (x_o - 10)² + y_o² = 36

                                          y_o = ±√(36 - (x_o-10)²)

    hvoraf for x_o = (32/5)
                                          y_o = ±√(36 - ((32/5)-10)²)

                                          y_o = ±√(36 - ((32/5)-(50/5))²)

                                          y_o = ±√(36 - ((-18/5))²)

                                          y_o = ±√(900/25) - (324/25))

                                          y_o = ±√(576/25))

                                          y_o = ±(24/5)

    hvoraf røringspunkterne:

                                          R₁ = (³²/₅,-²⁴/₅)   og   R₂ = (³²/₅,²⁴/₅)

Man kan også lade sig inspirere af opgavens overskrift. Lad cirklen have centrum i C og radius r. Tangenterne til cirklen udgår fra begyndelsespunktet O. Lad nu R være det ene røringspunkt, hvis koordinater vi søger.

Vi har nu

OR + RC = OC

hvor OR og RC er vinkelrette på hinanden, da tangenten til en cirkel står vinkelret på cirklens radius i røringspunktet. Da RC er en radius i cirklen, har vi

|RC| = r .

Da OR•RC = 0 , har vi

|RC|² = OC•RC = r² , og

|OR|² = OC•OR .

Trekant ORC er retvinklet, så vi har også

|OR|² + |RC|² = |OC|² ,

eller

|OR|² = OC•OR = |OC|² - |RC|² = |OC|² - r² .

I trekant ORC nedfælder vi højden fra R p hypotenusen OC og kalder højdens fodpunkt H.

Vi har da, at OH er projektionen af vektor OR på vektor OC, dvs.

OH = OR_OC = (OR•OC/|OC|) OC/|OC| = (1 - (r/|OC|)²) OC .

Det ses også, at 

|OH| = (1 - (r/|OC|)²)·|OC| ,

og da trekant OHR er retvinklet, har vi

|RH|² = |OR|² - |OH|² = |OC|² - r² -[ |OC|² +r⁴/|OC|² -2r² ] = r² - r⁴/|OC|² = r²·(1 - (r/|OC|)²) .

Vi finder nu stedvektoren til et røringspunkt R ved

OR = OH ± |RH|·OC^{^}/|OC|

      = (1 - (r/|OC|)²) OC ± (r/|OC|)·(1 - (r/|OC|)²)^1/2 OC^{^} .

I den pågældende opgave er OC = [10 ; 0] , OC^{^} = [0 ; 10] , r = 6, |OC| = 10 . Dermed er

r/|OC| = 6/10 = 3/5 ,

1 - (r/|OC|)² = 1 - (3/5)² = 16/25 , 

[ 1 - (r/|OC|)² ]^1/2 = 4/5 , og

(r/|OC|)·(1 - (r/|OC|)²)^1/2 = (3/5)·(4/5) = 12/25 , så

OR = (16/25)·[10 ; 0] ± (12/25)·[0 ; 10] = [32/5 ; ±24/5]