Logistisk vækst

Hov hvor er din konstant? Har du en randbetingelse, der skal opfyldes?

Jeg satte konstanten lig 1, så det svarer til dit udtryk. Grafen for funktionen er symmetrisk i punktet y(0)=2/3.

Funktionen har ingen endelig min og maks værdi, men er asymtotisk og altså har vi y(x) -> 2 for x-> infinity ligesom y(x) ->0 for x -> -infinity. Det er derfor man overhoved kan sige den er symmetrisk! Jeg kender ikke den præcise mtode til at løse sådan en opgave men at plotte den virkede fint :P 

Grafen for funktionen f(x) er ikke symmetrisk i punktet (0 , 2/3) , som det postuleres i #1.

Det er klart, at funktionen f(x) = 2/(1 + 2e^-10x) er monotont voksende og værdimængden er intervallet ]0;2[ .

I opgaven skal man bestemme et x₀, så at funktionen f(x)-1 er en ulige funktion omkring x₀ , dvs. så at

f(x₀-x) -1 = -(f(x₀+x) -1) for alle x. Denne betingelse er nu

f(x₀+x) = -f(x₀-x) + 2 , dvs

2/(1 + 2e^-10(x₀+x)) = -2/(1 + 2e^-10(x₀-x)) + 2 , eller

e^10x₀ / (e^10x₀ + 2e^-10x) = (-e^10x₀ + e^10x₀ + 2e^10x) / (e^10x₀ + 2e^10x) , eller

e^10x₀ / (e^10x₀ + 2e^-10x) = 2 / (2 + e^10x₀·e^-10x)

Vi ser, at denne ligning er opfyldt for alle x, hvis e^10x₀ = 2 , dvs.

x₀ = ln(2) / 10 .

Grafen er altså ulige-symmetrisk omkring (x₀ , 1) .