Mat AB2 849 optimeringsopgave

Hej

I mat AB2 opgavebogen er der en opgave der lyder således:

Af et cirkulært stykke papir med en radius på 4 cm bortskæres et 'lagkagestykke' som vist på figuren til venstre (cirkel med bortskåret lagkagestykke), hvor x er længden langs cirklen. Ved at støde de to sider på 4 cm sammen, dannes en kegle (et kræmmerhus) som vist til højre. (en kegle med højden h, radius (af grundfladen r, og siden 4)

Bestem x så keglens rumfang bliver maksimalt; det kan evt. ske ved at besvare nednstående spørgsmål.

1) Vis, at omkredsen af den del af cirklen, der er tilbage, når 'lagkagestykket' er klippet væk, er 8pi-x

2) Gør rede for at 8pi-x=2pi*r, hvor det sidste er omkredsen af den virkel, der udgør keglens grundflade. Isoler derefter r.

3) Vis at h=kvrod(16-r^2)

4) En kegles rumfang K er bestemt ved formlen K =1/3*pi*r^2*h. Benyt formlen til at vise, at der for keglen på figuren gælder:

K= 1/3pi(4-(x/2pi))^2 * kvrod(16-(4-(x/2pi))^2)

5) Bestemt den x-værdi, der gør keglens rumfang K størst mulig.

Den første er jeg fint nok med på, altså at omkredsen af enhedscirklen er 2pi, og så er omkredsen af en cirkel med radius på 4=8pi, men her skal vi trække x fra, da vi skærer lagkagestykket væk. 

Nummer to er jeg også med på - 8pi-x er omkredsen af keglens grundflade, og en cirkels omkreds er 2pi*r - indtil vi skal isolere r, der går den galt for mig. 

Og så kan jeg ikke gennemskue resten.