Matematik

Integrallighed

29. november 2013 af arto460 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg går ud fra, at I kender heaviside funktionen:

Θ(x1-x2) = {1 for x1>x2 , 0 x1<x2

Den bliver brugt til at omforme integralerne i den vedhæftede integralligning. Men kan nogen forklare helt præcist, hvordan det sker. Jeg går ud fra, at idéen er at udvide integrationen til [t0,t] fremfor [t0,t1] ved at gange med 0 på området [t1,t]. Men hvordan relaterer det helt præcist til en relation mellem t1 og t2?

Vedhæftet fil: integralequation.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Det vedhæftede billede er ulæseligt - ihvertfald med mine øjne. Kunne du lægge et større ud?

Svar #2
29. november 2013 af arto460 (Slettet)

ups haha. Der kommer et nyt her :)

Vedhæftet fil:inteq.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. november 2013 af lfdahl (Slettet)

Det havde været rart, at vide, hvad t og V(t) står for. Er det fra fysik: t står for tid og V(t) et tidsafhængigt potentiale ... eller noget helt andet?

Det første lighedstegn i det vedhæftede dokument er ligetil:

$\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\hat{V}(t_{1})\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\hat{V}(t_{2})= \frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\hat{V}(t_{1})\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\hat{V}(t_{2})+\frac{1}{2} \int_{t_{0}}^{t}dt_{2}\hat{V}(t_{2})\int_{t_{0}}^{t_{2}}dt_{1}\hat{V}(t_{1})$

De to led i summen på højresiden er to ækvivalente skrivemåder for det samme. I det højre led har t₂ og t₁ bare byttet rolle, men det ændrer intet på resultatet. Det kan sammenlignes lidt med at sige:

$\int_{a}^{b}\frac{1}{x+y}dx = \int_{a}^{b}\frac{1}{y+x}dy$ - som man ser gælder lighedstegnet klart.

Det næste lighedstegn er sværere. Jeg håber, at der er nogen, der kan komme med et kompetent svar på den del ...

Som du anfører, så er målet nok det, at kunne udvide integrationen til grænsen t. Her integreres der over intervallet: [t₀;t] under restriktionen: t₀ < t₂ < t₁ < t, som sikres ved at benytte heavyside-funktionen:

$\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t}dt_{2}\hat{V}(t_{1})\hat{V}(t_{2})\Theta (t_{1}-t_{2})$

Omvendt for det andet led:

$\frac{1}{2}\int_{t_{0}}^{t}dt_{2}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\hat{V}(t_{2})\hat{V}(t_{1})\Theta(t_{2}-t_{1})$

Der integreres igen over samme interval, men restriktionen er: t₀ < t₁ < t₂ < t

Svar #4
01. december 2013 af arto460 (Slettet)

hov ja, det var faktisk simpelt. Tak for forklaringen. Ja V(t) er en tidsafhængigt potential, så det der er tidsordensoperatoren til anden orden, som bruges til Feynman diagrammer osv.

Skriv et svar til: Integrallighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.