Matematik
Maclaurin-rækker
Jeg skal bestemme Maclaurinrækken for
1) f(x) = (1-cos(x))/x2
I min bog har jeg en lille tabel med Maclaurin-rækken for de trigonometriske funktioner samt f(x) = 1/(1-x).
Jeg går ud fra, at man skal lave en smart omskrivning, så jeg kan benytte disse, men jeg kan simpelt hen ikke se hvorden
Jeg skal desuden bestemme de første led i Maclaurin-rækken for den stamfuntion F(x) til f(x), som antager værdier F(0) = 1. Dette gør jeg vel bare ved at benytte, at man må integrere en sum ledvist, korrekt?
2) f(x) = sin(x2)
3) f(x) = (1+x2)/(1-x2)
På forhånd tak
Svar #1
13. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Benyt, at
cos(x) = ∑∞n=0 (-1)n·x2n/(2n)!
Så er
(1-cos(x))/x2 = ∑∞n=1 (-1)n+1·x2(n-1)/(2n)!
-------------------------------
Ja, hvis man kender rækken for f(x), kan man finde potensrækken for en stamfunktion F(x) ved at integrere ledvist. Betingelsen F(0) = 1 benyttes så til at fastlægge integrationskonstanten.
Svar #2
13. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
#1
Mange tak for svaret.
Ja, det er det samme udtryk for cos(x) jeg sidder med, men jeg kan ikke se, hvordan du kan konkludere det næste. Hvis jeg skal forstå det, er jeg nødt til at få det præsenteret trinvist
Svar #3
13. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Da leddet for n = 0 i rækken for cos(x) er lig med 1, har man
1 - cos(x) = 1 - ∑∞n=0 (-1)n·x2n/(2n)! = - ∑∞n=1 (-1)n·x2n/(2n)! = ∑∞n=1 (-1)n+1·x2n/(2n)!
Da rækken kun består af lige potenser af x, startende med x2 , kan man dividere rækken med x2
(1 - cos(x)) / x2 = [ ∑∞n=1 (-1)n+1·x2n/(2n)! ] / x2 = ∑∞n=1 (-1)n+1·x2n-2/(2n)! = ∑∞n=1 (-1)n+1·x2(n-1)/(2n)!
Den kan så re-indekseres, så n starter med 0:
= ∑∞n=0 (-1)n·x2n/(2(n+1))!
Jeg gik ud fra, at du selv regnede med ved siden af på papir.
Svar #4
13. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
#3 Nu ser jeg det. Mange tak for det uddybende svar; det havde jeg brug for.
Svar #5
13. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
#1
Problemet er, at jeg ikke kan finde integralet af den givne funktion og dermed ikke løse ligningen
∫f(0)dx+k = 1
Svar #6
13. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Man bestemmer så stamfunktionen ved
F(x) = 1 + 0∫x f(ξ) dξ = 1 + 0∫x ∑∞n=0 (-1)n·ξ2n/(2(n+1))! dξ
Svar #7
14. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
Ok. I denne opgave bliver jeg også bedt om at angive den afledede
f(4)(0)
Hvis jeg differentierer funktionen 4 gange får jeg et udtryk, hvor x optræder i nævneren, og jeg må ikke dividere med nul. Hvordan skal man løse denne opgave?
Svar #8
14. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
#6
Jeg er også lidt i tvivl om, hvor du får 1-tallet fra. Er det ikke kun når x = 0, at funktionsværdien er lig med 1?
Svar #9
14. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
1-tallet i #6 er netop den integrationskonstant, der sørger for, at F(0) = 1.
#7
Man skal her benytte potensrækken for f(x), der er opnået i #3 .
f(x) = ∑∞n=0 (-1)n·x2n/(2(n+1))!
Man får så
f(4)(x) = ∑∞n=2 (-1)n·(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)·x2n-4/(2(n+1))!
og dermed
f(4)(0) = (-1)2·4·3·2·1/(6!) = 1/30
Skriv et svar til: Maclaurin-rækker
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.