Matematik

Arealet under to funktioner

18. februar 2014 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP

To funktioner f og g er bestemt ved f(x)= √x og g(x)=√(2x-6)

Graferne for f og g afgrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse en punktmængde M, der har et areal.

a) Beregn ved hjælp af stamfunktioner arealet af M eksakt.
Jeg tænker at det er noget med at finde skæringspunktet, og derved intergrere. Men de skærer kun hinanden en et sted?

b) For ethvert tal k > 0 har punktmængden et areal. N= {(x,y)|0 ≤x ≤k ∧ f(x)≤y ≤g(x)}

Bestem tallet k, så arealet af N er lig med 2

Ved ikke hvordan denne opgave skal gribes an.

Håber på, at der er en, som kan hjælpe. Det haster en smule.

Tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

a) Lav en tegning af funktionernes grafer. Så vil det blive klart, at man skal benytte grafen for f(x) på intervallet [0;6] og grafen for g(x) på intervallet [3;6]

A(M) = ₀∫⁶ f(x) dx - ₃∫⁶ g(x) dx

Drejer opg b) sig om de samme to funktioner?

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. februar 2014 af mathon

Beregn skæringspunktets førstekoordinat, som er øvre grænse for det bestemte integral.

Svar #3
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

Okay, nu forstår jeg det bedre.

Opgave b) drejer sig om de samme funktioner, ja

Brugbart svar (1)

Svar #4
18. februar 2014 af mathon

Arealet A bliver så

$\small A\: =\: \int_{0}^{6}f(x)dx\: -\: \int_{3}^{6}g(x)dx$

Brugbart svar (1)

Svar #5
18. februar 2014 af mathon

b)
$\small \int_{6}^{k}(g(x)-f(x))dx\: =\: 2$

$\int_{6}^{k}(\sqrt{2}*\sqrt{x-3}\: -\: \sqrt{x})dx\: =\: 2$

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Mit problem her er, at punktmængden N ikke forekommer mig at være en virkelig punktmængde for ethvert k > 0 . Derfor mit spm. tidligere, om det drejer sig om de samme funktioner f og g.

Svar #7
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

Mathon, jeg kan ikke se dine billeder, desværre :(

Svar #8
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

Kan du vedhæfte dem eller gøre noget andet?

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv at højreklikke på billederne og vælg "Show Picture" , "Vis billede".

Svar #10
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

Det hjælper ikke :/

Brugbart svar (1)

Svar #11
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Svaret i #4 er identisk med svaret i #1.

I #5 står der

b) ₆∫^k (g(x) - f(x)) = 2

₆∫^k ((√2)·√(x-3) - (√x)) dx = 2

Svar #12
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

Jamen, jeg får arealet til at være -1,801, og det giver da ikke mening?
Vil i prøve at forklare, hvordan i har opstillet ligningen og hvordan bestemmer jeg k udfra den ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #13
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Er opgaven formuleret korrekt? Læs min kommentar i #6.

Svar #14
18. februar 2014 af snilo (Slettet)

b) For ethvert tal k > 0 har punktmængden N= {(x,y)|0 ≤x ≤k ∧ f(x)≤y ≤g(x)} et areal, skulle der egentlig så, men jeg ved ikke om det ændre noget. Mit areal er stadig et minus tal.

Brugbart svar (0)

Svar #15
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Mit problem er, som nævnt før, at punktmængden N kun giver mening, hvis den defineres

N = {(x,y) | 6 ≤ x ≤ k ∧ f(x) ≤ y ≤ g(x)}

Brugbart svar (1)

Svar #16
18. februar 2014 af Krabasken (Slettet)

x_{skæringspunkt} = 6

Som det ses på vedhæftede skitse skal du først finde

a = ₀∫⁶√(x)dx

Derefter

b = ₃∫⁶√(2x-6)dx

Tilsidst fås det søgte areal

M = a-b = 2√6 = 4,899

;-)

Vedhæftet fil:000.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #17
18. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Ja, det er fremgangsmåden for spm a) som det også fremgår af #1, #4, #11 (og det skal jo som angivet beregnes eksakt).

Brugbart svar (0)

Svar #18
18. februar 2014 af mathon

CAS-beregning:

solve(∫(g(x)-f(x),x,6,k)=2,k) = 11,1299

Skriv et svar til: Arealet under to funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.